2 .0 INFERENCIA ESTADISTICA :ESTIMACION

2.1 CONCEPTOS BASICOS
1. CONJUNTO DE METODOS ESTADISTICOS QUE PERMITEN INFERIR COMO SE DISTRIBUYE LA POBLACION EN ESTUDIO O LAS RELACIONES ESTOCADISTICAS ENTRE VARIAS VARIABLES DE INTERES APARTIR DE LA INFORMACION QUE PROPORCIONA UNA MUESTRA
  1. POBLACION
    1. estudia una o varias características que son, de alguna forma, observables
  2. MUESTRA
    1. es un subconjunto de la población
  3. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
    1. es aquel en el que todos los individuos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos
  4. MUESTRA ALEATORIA SIMPLE
    1. es un conjunto de n variables aleatorias X1,X2,...,Xn,
  5. ESPACIO MUESTLAL
    1. es el conjunto de muestras posibles que pueden obtenerse al seleccionar una muestra aleatoria,
  6. PARAMETRO
    1. es cualquier característica medible (media, varianza,..).
  7. ESTADISTICO
    1. Por tanto, es una variable aleatoria que tiene una función de distribución que se denomina
  8. PROPIEDAD DE LOS ESTIMADORES
    1. Sea ^h n = ^h n(X ,X ,... ,X ) 1 2 n un estimador del parámetro h
2.2 DISTRIBUCION DEL MUESTREO
1. es la distribución de probabilidad de una muestra de una población en lugar de toda la población.
  1. pueden variar dependiendo de cuán pequeña sea la muestra en comparación con la población
  2. media
    1. cuando la muestra que se toma es grande, conocido como el teorema del límite central.
  3. desviación estándar
    1. es diferente para la distribución de muestreo en comparación con la población
  4. VARIANZA
    1. es empleada para inferir la varianza de la población, mediante la distribución de muestreo
ESTIMACION PUNTUAL
1. El objetivo de la estimación puntual es aproximar el valor del parámetro desconocido. Para ello se utiliza la información de la muestra ( x 1 , x 2 , … , x n ) , a través de un estimador.
  1. Algunos estimadores frecuentes son
    1. Media muestral
      1. para estimar la media teórica de una variable X . ¯ x = x 1 + ⋯ + x n n
    2. Proporción muestral
      1. para estimar una proporción p : ˆ p = x 1 + ⋯ + x n n , siendo x 1 , … , x n una muestra aleatoria simple de la variable X ∈ B ( 1 , p ) , es decir, son unos o ceros.
    3. Varianza muestral
      1. para estimar la varianza teórica de una población, se puede usar la varianza de una muestra: S 2 = ( x 1 − ¯ x ) 2 + ⋯ + ( x n − ¯ x ) 2 n ,
    4. Cuasi-varianza muestral
      1. para estimar la varianza teórica de una población, se puede usar la varianza de una muestra: S 2 = ( x 1 − ¯ x ) 2 + ⋯ + ( x n − ¯ x ) 2 n ,
ESTIMACION DE INTERVALOS
1. La estimación por intervalos consiste en establecer el intervalo de valores donde es más probable se encuentre el parámetro.
  1. Parámetro  (estimador + z x EE del estimador)
    1. El intervalo de confianza calculado dependerá de:
      1. estimado en la muestra
        (porcentaje, media,..) El I.C. está formado por valores ligeramente menores y mayores que la aproximación ofrecida por la muestra.
      2. tamaño muestral
        Cuantos más datos hayan participado en el cálculo, más pequeño esperamos que sea la diferencia entre el valor estimado y el valor real desconocido.
intervalo de confianza para medias
1. distribución Normal
  1. el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro μ, basado en una muestra de tamaño n de la variable.
    1. Caso de varianza conocida
      1. Dada una muestra X1, ..., Xn, el estadístico
        se distribuye según una Normal estándar. Por tanto, aplicando el método del pivote podemos construir la expresión
        donde zα/2 es el valor de una distribución Normal estándar que deja a su derecha una probabilidad de α/2, de la que se deduce el intervalo de confianza
    2. Caso de varianza desconocida
      1. Dada una muestra X1, ..., Xn, el estadístico
        se distribuye según una t de Student de n − 1 grados de libertad. Por tanto, y siguiendo pasos similares a los del apartado anterior, el intervalo de confianza resultante es
        donde tα/2 es el valor de una distribución t de Student con n − 1 grados de libertad que deja a su derecha una probabilidad de α/2.
intervalo de confianza para diferencia entre medias
1. se debe saber si las varianzas poblacionales son conocidas o desconocidas
  1. Para calcular el intervalo de confi anza para la diferencia de dos medias
    1. se debe saber si las varianzas poblacionales son conocidas o desconocidas
      1. desconocidas
        se debe probar si son igual es o diferentes.
        Cada uno de estos tres casos se analizarán por separado
      2. una distribución normal
  2. El objetivo es construir un intervalo de confianza, con nivel de confianza (1 − α) · 100 %, para la diferencia de medias µ1 − µ2
  3. si las dos poblaciones son normales, o aproximadamente normal
    1. si cumple con las condiciones del teorema del limite central
intervalo de confianza para proporciones
1. sirve para calcular la estimacion de la proporcion de elementos de una poblacion que tiene ciertas caracteristicas de interes
  1. Considerar la aproximación asintótica de la distribución Binomial en la distribución Normal.
    1. Tiene la ventaja de la simplicidad en la expresión y en los cálculos, y es la más referenciada en la mayoría de textos de estadística
      1. Se basa en la aproximación
  2. Utilizar un método exacto.
    1. Es posible demostrar que un intervalo exacto para el parámetro p viene dado por los valores siguientes:
intervalo de confianza para diferencias entre proporciones
1. Este intervalo puede utilizarse de manera alternativa al contraste de hipótesis
  1. donde el símbolo zα/2 es el mismo valor crítico que antes, prob(Z > zα/2) = α/2, y corresponde a un intervalo de confianza 1 − α %
    1. Un intervalo puede utilizarse de manera alternativa al contraste de hipótesis para decidir
      1. Aunque se haga el contraste de dos proporciones, en primer lugar, es aconsejable obtener el intervalo de confianza de la diferencia de medias
        si éste ha resultado significativo, puesto que ayudará a interpretar si existe significación aplicada además de la estadística.
intervalo de confianza para varianza
1. el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro σ, basado en una muestra de tamaño n de la variable
  1. Para estimar un intervalo de confianza para la varianza, nos ayudaremos de la siguiente propiedad de la distribucion x2:
    1. Un intervalo de confianza al nivel 1 − α para la varianza de una distribuci´on gaussiana (cuyos par´ametros desconocemos) lo obtenemos como
      1. Ejemplo
        Se estudia la altura de los individuos de una ciudad, obteni´endose en una muestra de tama˜no 25 los siguientes valores:
        x = 170 cm S = 10 cm
        Calcular un intervalo de confianza con α = 0, 05 para la varianza σ 2 de la altura de los individuos de la ciudad.
        Solucion:
        σ 2 ∈ [63, 45 ; 201, 60]
intervalos de confianza para razones de dos varianzas
1. Supondremos la existencia de dos poblaciones sobre las que una determinada variable sigue una distribución Normal.
  1. Sobre la población 1 la variable sigue una distribución N(µ1, σ1) y sobre la población 2 sigue una distribución N(µ2, σ2).
    1. dos muestras aleatorias independientes
      1. El objetivo es construir un intervalo de confianza, con nivel de confianza (1 − α) · 100 %, para el cociente de varianzas
        Las circunstancias específicas para la construcción de este intervalo son las siguientes
        Intervalo para el cociente de dos varianzas poblacionales
        Evidentemente si plantemos medir la diferencia entre las varianzas , cuanto más próximo se la razón a la unidad menor diferencia habrá entre las varianzas y lógicamente cuando la razón entre estas difiera mucho de 1 ,la diferencia entre varianzas será mas ostensible.

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