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Mind Map by Vladímir Ardila, updated more than 1 year ago
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Vectores
- Definición Algebráica: Es la forma
en que se representa el vector.
Para ello tenemos que se
representan de dos formas
- Horizontal (Renglón)
- Vertical (Columna)
- Horizontal (Renglón)
- La norma: se define como la
distancia entre los puntos A y B
que definen el vector,
coincidiendo la norma y el
módulo AB
- La longitud o magnitud: en
cualquier representación
del vector.
- La dirección: El ángulo
medido en radianes que
forma con el lado + de x
- La longitud o magnitud: en
cualquier representación
del vector.
- Ángulos Directores:Se
forman por el lado
positivo de X y deben ser
tomados entre 0° y 180°
(π)
- Vector Unitario: es el proceso
por el que normalizamos la
magnitud de un vector a 1
- Se toma un
vector diferente a
0 y su magnitud
tambien distinta
- Se multiplica por el
recíproco de la
magnitud, y tenemos:
- Se multiplica por el
recíproco de la
magnitud, y tenemos:
- Se toma un
vector diferente a
0 y su magnitud
tambien distinta
- Propiedades:
- Conmutativa: El orden
de los sumandos no
altera la suma. A+B=B+A
- Asociativa: la forma de
agruparlos no altera el
resultado. (A+B)+C = A+(B+C)
- Distributiva: Relaciona la
multiplicación y la suma.
k(A+B) = kA+kB
- Inverso Aditivo: la
suma de un vector y
su opuesto es cero.
A+(-A)=0
- Conmutativa: El orden
de los sumandos no
altera la suma. A+B=B+A
- Operaciones
Básicas:
- Suma: Se suma la primera
componente de U con la primera de V;
y la segunda de U con la segunda de V
- Resta de vectores: Es la suma de
U con -V, o sea el opuesto de V
- Producto por escalar: esta
multiplicación es KU o K.U.
Se deben satisfacer los
siguientes aspectos:
- El producto punto es
cuando multiplicamos 2 V,
el resultado es un escalar
- El producto punto es
cuando multiplicamos 2 V,
el resultado es un escalar
- Suma: Se suma la primera
componente de U con la primera de V;
y la segunda de U con la segunda de V
- Vector Base: dos vectores U y V
con distinta dirección. Cualquier
vector del plano se puede poner
como combinación lineal de ellos.
- Matrices
- Resultado de m X n,
donde m= renglones;
y n= columnas
- Tipos de
matrices:
- Renglón: Contienen una
sola fila de componentes
- Columna: Compuesta por una
sola columna de componentes
- Rectangular: Son diferentes
cantidades de columnas y
filas, siendo m X n.
- Traspuesta: es la que se
obtiene de A al cambiar los
renglones por columnas.
- Nula: donde todos los
elementos son cero
- Cuadrada: contiene el
mismo número de filas
y de columnas
- Triangular superior: los
elementos en la diagonal
bajo la principal son cero
- Triangular inferior: los
elementos por encima de la
diagonal principal son cero
- Diagonal: los que no esten
en la principal son nulos.
- Escalar: es una diagonal
donde todos sus elementos
principales son iguales
- Identidad o Unidad: es diagonal donde
los elementos de la principal son 1.
- Regular: Es una cuadrada
que tiene inversa
- Singular: No tiene matriz inversa
- Idempotente: si A2 es= A. O
sea que las potencias siempre
den la misma matriz
- Involutiva: si A2=1. Solo
así es de este criterio
- Simétrica: es cuadrada
que verifica: A=At
- Antisimétrica: o
hemisimétrica es cuadrada
que verifica A=-At
- Ortogonal: Si verifica
que A * At = 1
- Triangular superior: los
elementos en la diagonal
bajo la principal son cero
- Renglón: Contienen una
sola fila de componentes
- Suma de matrices: Se obtiene
sumando los elementos de las dos
matrices en las mismas posiciones
- Propiedades: la suma de 2
matrices da otra matriz de la
denotación m X n.
- Asociativa: A+(B+C)= (A+B)+C
- Neutro: A+0= A. Donde 0 es la
nula de la misma dimensión de A
- Opuesta: todos los elementos
están cambiados de signo
- Conmutativa: A+B = B+A
- Asociativa: A+(B+C)= (A+B)+C
- Propiedades: la suma de 2
matrices da otra matriz de la
denotación m X n.
- Producto: Son multiplicables si las
columnas de A coincide con la
cantidad en renglon de B
- se multiplica cada elemento de
la fila A por los cada elemento
de columna B y se suman:
- Propiedadaes:
- Asociativa: A*(B*C) = (A*B)*C
- Neutro: A*1 = A
- No es conmutativa: A*B ≠ B*A
- Distributiva respecto a la suma: A * (B+C) = A * B+A*C
- Asociativa: A*(B*C) = (A*B)*C
- Propiedadaes:
- se multiplica cada elemento de
la fila A por los cada elemento
de columna B y se suman:
- Operaciones
Elementales:
- Cambiar entre sí
dos columnas
- Multiplicar una fila (columna) por un
número real distinto a cero
- Sumar a una fila
(columna) otra,
multiplicada por uno real
- Matriz Inversa:
- Por medio de estas
operaciones hasta que el
resultado sea A con
exponente -1
- Se obtienen 3 equivalencias: se
trianguliza superior e inferiormente y se
obtiene 1 en la diagonal principal
- Se obtienen 3 equivalencias: se
trianguliza superior e inferiormente y se
obtiene 1 en la diagonal principal
- Por medio de estas
operaciones hasta que el
resultado sea A con
exponente -1
- Cambiar entre sí
dos columnas
- Resultado de m X n,
donde m= renglones;
y n= columnas
- Determinantes
- El determinante le asigna a
una matriz cuadrada un
único número real
- Propiedades:
- El det. de una matriz
A y su traspuesta At
son iguales.
- Dos filas y Dos
columnas iguales
- Todos los elementos
de una fila y
columna son nulos
- Los de un reglón
son combinación
lineal de los otros
- Todos los elementos
de una fila y
columna son nulos
- El det. de una matriz
A y su traspuesta At
son iguales.
- Determinante NxN
- Representa todos los productos posibles
en los que hay un elemento de cada fila y
columna. Son matrices superiores a 3x3
- Representa todos los productos posibles
en los que hay un elemento de cada fila y
columna. Son matrices superiores a 3x3
- El determinante le asigna a
una matriz cuadrada un
único número real
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