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5. Resonadores

5.1 Frecuencia de resonancia y Factor de calidad
1. El concepto de resonancia va ligado a una variación muy acusada de alguna magnitud respecto a la frecuencia y con cierta simetría alrededor de una frecuencia dada, en donde la magnitud alcanza un valor máximo o mínimo. El ejemplo más típico lo tenemos en los circuitos RLC de baja frecuencia.
  1. 1. Suponiendo que el generador proporciona una tensión de
      1. La impedancia de entrada es
        Y la intensidad que circulaba por el circuito
        Cuya amplitud resulta
        Entonces si Vo es constante, la intensidad tiende a cero a frecuencia muy bajas, aumenta con la frecuencia hasta llegar a un valor máximo para disminuir hasta llegar a cero para frecuencias muy altas.
        A esta frecuencia se la denomina frecuencia de resonancia, y la impedancia a esta frecuencia es real, Z=R.
        El factor de calidad, o Q se define como:
        Donde Wm y We son respectivamente la energía magnética y eléctrica al almacenada en la inductancia y la eléctrica en el condensador y en resonancia valen
        La potencia compleja proporcionada al resonador viene dada por
        En resonancia resulta:
        Intensidad de corriente (a) y módulo de la impedancia (b) de un circuito RLC serie en función de la frecuencia.
        Como podemos ver, el factor de calidad es una medida de las pérdidas en el circuito; cuanto menor sea R (menos pérdidas) mayor es Q. Para un circuito ideal, R=0 y Q tendría un valor infinito.
        Y la intensidad que circula por el circuito a la frecuencia
        Y la potencia media disipada a Y la potencia media disipada a esta misma frecuenci esta misma frecuencia
        Se define el ancho de banda, ∆w , como el intervalo en frecuencia entre los puntos en que la potencia disipada es 1/2 de la disipada en resonancia.
        Potencia disipada de un circuito RLC
        Con las condiciones de la grafica Q seria:
        Por lo tanto el Q del resonador también es una medida de la selectividad, concepto relacionado con la respuesta en frecuencia. Un resonador es más selectivo cuando más estrecha sea la banda de respuesta en frecuencia, es decir, cuanto mayor sea Q.
        Los resonadores de microondas se suelen agrupar en dos grandes familias, cerrado o cavidades resonantes y abiertos entre los que encontramos los resonadores dieléctricos, microstrip, etc.
5.2 Resonadores como guías cortocircuitadas (cavidad rectangular, cavidades cilíndricas)
1. Circuitos resonantes de bajas y altas frecuencias Se utilizan en aplicaciones como filtros, sintonía de osciladores, amplificadores sintonizados, frecuencímetros medida de características de materiales, etc.
  1. Consideremos una guía de transmisión monoconductora tal como la representada en la Figura representada en la figura (a) . Para centrar ideas, supongamos que se propaga un modo TEmn.
    1. Si en un punto A del eje z se coloca un cortocircuito metálico, se generará una onda estacionaria como la representación en términos del campo eléctrico transversal en la Figura(b)
      1. Esta onda estacionaria presenta ceros de campo eléctrico transversal en el cortocircuito y en puntos que distan n(landa/2 ), donde n es un número entero y landa la longitud de onda en la guía.
        Si colocamos otro cortocircuito en alguno de estos puntos, como B o C en la figura, las condiciones de contorno no varían y la solución del problema inicial sigue siendo válida.
        Es posible disponer de energía electromagnética en un dispositivo completamente cerrado por paredes metálicas, que llamaremos cavidad resonante.
        En la realidad, necesitaremos algún sistema que permita un intercambio de energía con el exterior, que denominaremos sistema de excitación o acoplamiento.
        La longitud del dispositivo está relacionada con la frecuencia de operación y las pérdidas de energía están caracterizadas por el factor de calidad.
        El campo eléctrico transversal en la guía es
        El campo de la onda estacionaria generada por la colocación del cortocircuito en A, que tomaremos como z=0, tiene la expresión
        Donde B, es la constante de propagación que viene dada por la relación de dispersión en la guía
        obtendremos resonancia siempre que coloquemos el otro cortocircuito a una distancia l, tal que sea múltiplo entero de landa/2, es decir
        Al modo de Al modo de resonancia resonancia obtenido, proveniente obtenido, proveniente del modo TE del modo TEmn de la guía base, se le denomina TEmnp y la condición de resonancia se puede se puede expresar
        Por otra parte, el campo eléctrico en el resonador tendrá la expresión
        Podemos observar que para modo TEmn de la guía base se obtiene infinito modos de resonancia del resonador. Se puede hacer un estudio análogo para los modos TMmn, o cualquier otro tipo de modo posible en la guía base.
        Los resonadores más utilizados son los derivados de las guías de sección rectangular y cilíndricas, las cuales dan lugar a resonadores cerrados que se denominan cavidades resonantes rectangulares o cilíndricas.
        Cavidad Rectangular
        La cavidad rectangular es el La cavidad rectangular es el resonador más simple y resonador más simple y sencillo de construir, por l sencillo de construir, por ol que es uno de los que es uno de los más utilizados en experiencias bá más utilizados en experiencias básicas.
        Típicamente sicas. Típicamente se utiliza se utiliza resonando en alguno de los modos TE10p, derivados del fundamental de la guía base, TE10.
        Suponiendo que la cavidad está constituida por un conductor perfecto que encierra totalmente un dieléctrico sin pérdidas la expresión del campo en la cavidad con los parámetros definidos en la Figura
        Siguiendo un proceso similar es fácil calcular las componentes del campo magnético, resultando:
        La condición de resonancia es
        Así la energía almacenada viene dada por:
        Para un modo TE10p resulta:
        La potencia disipada en toda la La potencia disipada en toda la superficie de S del superficie de S del conductor de conductividad conductor de conductividad muy grande pero finita la podemos calcular de la misma forma
        Donde Rs, es la resistividad superficial del conductor y Htg el campo tangencial a la superficie. Para a la superficie. Para una cavidad rectangularen modo TE10p resulta
        Recordemos que:
        Y si el conductor es no magnético:
        Donde ds es la profundidad de penetración en el conductor y haciendo uso de la condición de resonancia
        Recordemos que dio interior. Recordemos que para caracterizar un dieléctrico real la permitividad debe sustituirse por la permitividad compleja
        Pero deberemos añadir en el cálculo del factor de calidad las pérdidas en el dieléctrico, que vienen dadas por
        Donde J es la densidad de corriente en el dieléctrico debido a la conductividad dieléctrica , suponiendo que incluye todos los efectos de pérdidas en el dieléctrico.
        Si el medio interior presenta también pérdidas magnéticas
        Donde u′′ es la parte imaginaria de la correspondiente permeabilidad compleja. Usualmente en el interior de la Usualmente en el interior de la cavidad no presenta cavidad no presentan comportamiento magnético
        El factor de calidad de calidad de una cavidad real con pérdidas dieléctricas y en el conductor.
        De forma similar se puede estudiar modos TE o TEM [2]
        Cavidades Cilíndricas.
        Frecuencia de resonancia de los modos TEmnp para una cavidad cilíndrica como la representada en la Figura(a)
        y para los modos TMnmp:
        Para los modos TE01p:
        Como consecuencia de esta distribución de campos, las líneas de corriente generadas en las paredes sólo tienen componentes fi, tanto en la superficie lateral como en la lateral como en la base
        El factor de calidad se calcula de la misma forma indicada para cavidades rectangulares y considerando únicamente pérdidas en las paredes
        El factor de calidad para un modo TE01p resulta ser significativamente más alto que de los otros modos [3]. Se puede comprobar, además, que presenta un máximo cuando l=2a. Aunque resulta ser un inconveniente: resulta ser degenerado con el modo TM11p
        Para modos TM0m0, la frecuencia de resonancia resulta
        Variación del Q respecto a la longitud para un modo TM0n0
        Los campos son:
        El factor para los TM0m0 considera únicamente perdidas en los conductores
        Como se puede ver, Qc aumenta con l hasta un valor máximo asintótico Qcm=(u/u0)(a/ds)
        Para el diseño de cavidades cilíndricas es muy útil la denominada carta modal
        La línea continua representa Ē , y la , y la discontinua, H.
5.3 Resonadores en línea de transmisión
1. El mismo método seguido para el El mismo método seguido para el análisis de cavidad análisis de cavidades resonantes obtenidas a es resonantes obtenidas a partir de guías cortocircuitadas podría ser utilizado para el estudio de resonadores de línea de transmisión biconductora, como coaxial o mocristrip.
  1. Operan en modo TEM, por lo que se podría utilizar los conceptos de circuitos a parámetros distribuidos, como inductancia, capacidad o resistencia, por unidad de longitud.
    1. 1. Carta modal para una cavidad cilíndrica
        Donde Zc es la impedancia característica de la linea
        Si la línea no tiene pérdidas , alfa=0
        Podemos decir que el tramo de la línea l presenta resonancia a esta frecuencia , denominaremos wr a esta frecuencia y Br al valor de la constante de fase a esta frecuencia
        Linea de transmision cortocircuitada y Distribución de voltaje para los modos TEM modos TEM 1 y TEM2.
        Recordando que TEM B=k, podemos escribir
        si identificamos wr con la frecuencia de resonancia del circuito
        La línea de longitud ℓ cortocircuitada en ambos extremos se comporta como un circuito resonante serie RLC circuito resonante serie RLC cuya resistencia e inductancia equivalentes vienen dadas por las ecuaciones anteriores
        Cuya capacidad equivalente puede calcularse de la expresión de la frecuencia de resonancia:
        La frecuencia de resonancia y el factor de calidad son
        Siempre y cuando:
        Entonces la línea cortocircuitada de longitud ℓ se comporta como un circuito resonante RLC pero los elementos equivalentes son:
        En general, la línea presenta resonancia en modo TEM0 .
        El estudio realizado es válido para cualquier línea de transmisión multiconductora cuya longitud sea múltiplo entero de la semilongitud de onda, tanto para líneas cerradas como la coaxial, como para líneas abiertas como la microstrip.
        En las primeras, se obtiene un resonador cerrado (cavidad coaxial) mientras que las segundas resultan un resonador abierto. En ambos casos, suele referirse a este tipo de resonadores como línea landa/2 cortocircuitada.
        Otro tipo de circuitos resonantes son la línea landa/4 cortocircuitada y la línea landa/2 abierta. La primera es la misma situación que la línea landa/2 estudiada pero la longitud ℓ=landa/ 4 a la frecuencia en que se desea la resonancia y que resultan ser
        Un estudio similar al realizado indica que este dispositivo se comporta como un circuito RLC paralelo con:
        En el caso de linea landa/2 abierta la abierta la longitud es tambien una semilongitud de longitud es tambien una semilongitud de onda pero la linea esta terminda en circuito abierto. Repitiendo el analisis realizado, se comprueba que esta linea se comporta como un circuito RLC paralelo a la frecuencia.
        Cuyos parametros equivalentes son :
        Cavidades reentrantes formadas a partir de línea coaxial vistas en sección diametral con el gap en un extremo (a), con el gap en zona intermedia (b), y circuitos equivalentes respectivo (c) y (d)
        Otro tipo de resonadores que admiten tratamiento en términos de circuitos, aunque sea de forma aproximada, son las cavidades reentrantes
        Estas cavidades son muy utilizadas como sintonía de osciladores.
5.4 Resonadores dieléctricos
1. Un resonador dieléctrico está formado por una pequeña región dieléctrica de alta permitividad, usualmente ξr>10, que presenta concentración de campos a ciertas campos a ciertas frecuencias y, por tanto, almacenamiento de energía de formar similar a las cavidades resonantes.
  1. La forma más utilizada es la cilíndrica, aunque puede encontrarse en otras formas como esferas o paralelepípedos. El estudio teórico es complicado ya que no es posible una solución solución analítica fácil y es necesario recurrir modelos modelos aproximados o soluciones numéricas.
    1. 1. Resonador cilindrico (a) y montaje con la placa conductora en un microstrip (b).
        Donde alfa y beta vienen dados por:
        Donde po1 es el primer cero de la función de Bessel Jo(x), Er es la permitividad relativa del resonador y hemos supuesto que el resonador esta rodeado por el aire (≈ vacío).
        El calculo de factor de calidad es una tarea complicada ya que implica el cálculo que implica el cálculo de las perdidas por radiación, además de las de dieléctrico; sin embargo, en muchas situaciones prácticas, la radiación es pequeña y, en una primera aproximación, pueden ser despreciadas
        En tal caso, el factor de calidad viene determinado únicamente por las pérdidas del dieléctrico y resulta
        Utilizando los materiales mas usuales, que suelen ser compuestos de titanio como el tetratitanato de bario [6], que presentan valores de la permitividad relativa entre 10 y 100
        Se consigue frecuencias de resonancia entre 1 y varios GHz con pequeños cilindros de dimensiones del orden de 1 cm o menores, siendo muy fácil su integración en circuitos microstrip.
5.5 Resonadores Fabry-Perot
1. A frecuencias frecuencias altas, milimétricas milimétricas y superiores, superiores, loa s resonadores resonadores estudiados estudiados dejan de ser útiles
  1. La utilización de modos de mayor orden, que podría solventar este problema, es imposible ya que el intervalo de frecuencia entre modos disminuye al aumentar el orden, siendo prácticamente imposible la operación del resonador en un modo aislado.
    1. Por otro, las perdidas en los conductores crecen con la frecuencia y por tanto, el factor de calidad disminuye.
      1. En contrapartida, a medida que aumenta la frecuencia es más fácil colimar los campos en zonas determinadas del espacio y resultan más útiles los resonadores abiertos como el representado en la Figura
        Es posible la existencia de ondas planas entre ambas placas formando una onda estacionaria cuyos campos pueden escribirse, suponiendo el vacío entre placas.
        Con esta expresión se cumple la condición de contorno,Ex=0, en la placa conductora situada en z=0 . Se cumple también en la Se cumple también en la otra placa colocada en otra placa colocada en z=ℓ si
        y, por tanto, el dispositivo presentara resonancia a la frecuencia
        Decimos que el resonador presenta resonancia en el modo TEMp.
        Supongamos una porción formada por un paralelepípedo y longitud ℓ y cuyas bases de área A están sobre a las respetivas placas metálicas. Las energías eléctrica y magnética almacenadas en este paralelepípedo son
        La potencia disipada en el parelelepipedo coincide con la disipada en sus bases, y suponiendo que ambas placas están formadas por el mismo conductor vale
        El factor de calidad asociado a la porción de resonador considerada resulta
        En la practica el resonador, tendra dimensiones finitas por lo que las posibles resonancias se veran afectadas por la difracción en los bordes de las placas que supondrá perdidas adicionales y que se puede, incluso, eliminar la resonancia
        Para solventar este efecto, se ventar este efecto, se sustituye sustituye las placas planas por placas curvas (esféricas, elípticas, etc..)para producir un efecto de focalización disminuyendo drásticamente las perdidas por difracción en bordes.
5.6 Excitación de resonadores
1. Un resonador real formará parte en circuito completo y será preciso establecer algún sistema de interconexión con los elementos adyacentes. Vamos a analizar a continuación las técnicas más usuales de realizar esta conexión y la forma de caracterizarlas.
  1. TÉCNICAS DE EXITACIÓN
    1. La forma adecuada de excitar un resonador viene determinada por el tipo de resonador, por el sistema de transmisión utilizado para su conexión y por el modo que se desee excitar.
      1. . En la figura se muestran las principales formas de excitación. La más utilizada para resonadores microstrip es la de tipo “gap” (a). Excita fundamentalmente modos del mismo tipo que el TEM de la línea, es decir los TEMn, que son los más usuales.
        Excitación de resonadores: a) resonador microstrip excitado por «gap» desde línea microstrip,b) cavidad rectangular excitada desde coaxial por sonda eléctrica y lazo magnético, c) cavidad cilíndrica excitada desde guía por iris y d) resonador dieléctrico excitado desde línea microstrip.
        Así, la sonda excitará modos cuyo campo eléctrico sea paralelo a la sonda (excitación eléctrica), mientras que le lazo excitará modos cuyo campo magnético sea perpendicular al plano del lazo (excitación magnética).
        Se excita por igual cualquier modo resonante en la cavidad, lo cual puede resultar un grave inconveniente si existen modos degenerados, como ocurre cuando se utiliza el modo TE01P en una cavidad cilíndrica.
        Este modo es degenerado con el TM11P, por lo tanto, una excitación por iris circular induce igualmente ambos modos: si se desea excitar sólo el TE01P conviene utilizar un iris rectangular estrecho cuyo lado más largo sea perpendicular al campo eléctrico en la guía eléctrico en la guía y en la cavidad
        Una forma de saber qué tipo de iris conviene y su disposición está basada en las líneas de corriente que el campo induce en las paredes conductoras: un iris excitará los modos con cuyas corrientes más interfiera.
        La excitación de resonadores dieléctricos se realiza usualmente desde línea microstrip por medio de gap, aunque se puede llegar al contacto del resonador con la microstrip si se desea una mayor excitación
        Para analizar analizar este tipo de excitación debe recurrirse a las líneas de campo: al ser la línea microstrip un sistema abierto, sus líneas de campo fluyen hacia el exterior llegando a la zona del resonador excitando preferentemente los modos cuyas líneas de campo sean paralelas a las de líneas de campo sean paralelas a las de la línea de la línea de excitación.
        TIPOS DE MONTAJE Y CIRCUITOS EQUIVALENTES: REFLEXIÓN, TRANSMISIÓN Y REACCIÓN.
        Un resonador puede conectarse dentro de un circuito de tres formas: reflexión, transmisión y reacción.
        En la conexión por reflexión, mostrada esquemáticamente en la (a), el resonador está colocado como una carga al final del sistema de alimentación(LT)
        Resonador montado en reflexión: a) esquema del montaje) variación de la potencia reflejada con la frecuencia y c) circuito a y c) circuito equivalente equivalente en posición de cortocircuito.
        Como la potencia disipada es máxima en resonancia, la absorción presenta también un máximo y la potencia refleja un mínimo.
        En un montaje por transmisión, esquematizado en la Figura (a), el resonador, además del acoplamiento desde la línea de alimentación (LT1) al resonador, tiene otra conexión a otra línea (LT2), que supondremos terminada en carga adaptada, a donde acopla potencia solamente cuando está en resonancia
        COEFICIENTES DE ACOPLAMIENTO Y FACTOR DE CALIDAD
        Resonador montado en transmision
        Resonador montado en reaccion
        Factor de calidad global
        Factor de calidad con cargas
        Factor de calidad externo
        Para el caso de un resonador montado en reacción, se encuentra ecuaciones iguales que para el caso de reflexión, aunque la interpretación de algunas madgnitudes difiere

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