ALGEBRA LINEAL

ESPACIO VECTORIAL
1. DEFINICION
  1. Es un conjunto de objetos denominados vectores junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicacion por un escalar definida entre dicco conjunto y otro conjunto con estructura de cuerpo
  2. PROPIEDADES
    1. Undiad dfe vector neutro de la propoiedad 3
    2. Unidad de vector opuesto de la propiedad 4
    3. Unicidad en el elemento 1 del cuerpo K
    4. Unicidad del elmento inverso del cuerpo K
    5. Producto de un escalar por el vector neutro
    6. Producto de un escalar 0 por un vector
    7. Axionas de un espacio vectorial
      1. Si X pertenece a V y Y pertene a V entonces X+Y pertenece a V
      2. Para todo X, Y y Z en V ( (x+y)+z = x(y+z).
      3. Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X
      4. Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.
      5. Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.
      6. Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.
      7. Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay
      8. Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.
      9. Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.
      10. Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.
    8. Combinacion Lineal
      1. Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.
      2. Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.
      3. Esta combinación lineal es única. Sean v1,v2,…,vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:
    9. Dependencia e independencia lineal
      1. Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
      2. Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.
    10. Teoremas
      1. Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.
      2. Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es linealmente independiente.
      3. Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1, v2}, donde v1 ≠ 0, v2 ≠ 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro.
      4. Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.
      5. Cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.

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