AG 2.3: Quadratische Gleichungen

Spezialfälle
1. I. Spezialfall
  1. ax²=0
2. II. Spezialfall
  1. ax²+bx=0
  2. Anleitung: faktorisieren, Produkt-Null-Satz anwenden
  3. Wie lautet der Produkt-Null-Satz? Ein Produkt ist dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
3. III. Spezialfall
  1. ax²+c=0
  2. Anzahl d. Lösungen: c < 0 ⇒ 2 Lösungen c > 0 ⇒ keine Lösung
  3. Beim Wurzelziehen muss folgendes beachtet werden: Die Lösung kann positiv als auch negativ (±) sein.
Vokabeln
1. Wie lautet die allgemeine Form der qudratischen Gleichung? ax²+bx+c=0 mit a,b,c∈R ∧ a≠0
2. Ein Koeffizient ist ein konstanter Faktor vor einer veränderlichen Größe, z.B. 2 ist der Koeffizient von 2x.
3. Was heißt faktorisieren? Herausheben.
4. Was heißt normieren? Division durch seinen Koeffizienten, damit die Gleichung der Normalform entspricht.
Kleine Lösungsformel
1. Wie lautet die kleine Lösungsformel? Für eine quadratische Form der Gleichung der Form x^2+px+q=0 gilt: x=-p/2±√((p/2)^2-q).
2. Wenn vor dem x² etwas anderes als 1 steht, muss man die Gleichung durch a dividieren (d.h. normieren).
3. Wie viele Lösungen gibt es? Wie kann man bestimmen, wann und ob es 0/1/2 Lösungen gibt ohne die Gleichung zu lösen?
  1. D > 0 ⇒ 2 Lösungen
  2. D=0 ⇒ 1 Lösung
  3. D < 0 ⇒ keine Lösung
Satz von Vieta
1. Sind x1 und x_2 die Lösungen der quadratischen Gleichung x²+px+q=0, so gilt:
  1. x²+px+q=0 = (x-x_1)(x-x_2)
  2. x_1*x_2=q
  3. x_1+x_2=-p
2. Was sind Linearfaktoren? (x-x_1 )(x-x_2 )=0
Quadratische Gleichungen mit Paramter
1. Parameter sind Variablen (unbestimmte Zahlen), die in der Rechnung wie Konstanten behandelt werden.
2. Wie löst man eine quadratische Gleichung mit Parameter? Man löst sie mit Hilfe der kleinen Lösungsformel.

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