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Description
Mind Map by alejandro carrion, updated more than 1 year ago
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Created by alejandro carrion
about 4 years ago
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DETERMINANTES
- Una determinante es una Notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros
elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo
siguiendo ciertas reglas.
- PROPIEDADES
- El determinante de una
matriz y de su traspuesta son
iguales
- Si una matriz tiene una fila o
una columna llena de 0s, su
determinante da 0
- El determinante de una matriz
con dos filas o dos columnas
iguales o múltiples es 0
- Si se cambian 2 filas o columnas
entre sí, el resultado del
determinante cambia de signo
- Multiplicar todos los elementos de una fila o
una columna por un número es igual a
multiplicar el resultado del determinante por
ese número
- El determinante del producto de dos
matrices es igual al producto de sus
determinantes
- El determinante de la inversa de una
matriz es equivalente al inverso del
determinante de la matriz
- Se puede sustituir una fila de un determinante por la
suma (o resta) de la misma fila más ( o menos ) otra fila
multiplicada por un número
- El determinante de una matriz triangular es el
producto de sus elementos de su diagonal principal
- El determinante de una matriz diagonal es el
producto de los elementos de su diagonal principal
- DETERMINANTES E INVERSAS
- Al aplicar esta fórmula para encontrar la matriz inversa de una matriz,
hacemos uso de encontrar el determinante de la matriz, primeramente;
asimismo, nos ayuda a determinar si una matriz es singular. Para el caso en
que se tenga una matriz singular, por consecuencia concluimos que esa
matriz no tendrá inversa.
- MÉTODOS PARA CALCULAR DETERMINANTES
- Sarrus
- La regla de Sarrus es un método
que te permite calcular el
determinante de una matriz de
orden 3 más fácilmente. En este
método, las primeras columnas
de la matriz se repiten al final y
se realiza una multiplicación de
diagonales para obtener el
determinante.
- La regla de Sarrus es un método
que te permite calcular el
determinante de una matriz de
orden 3 más fácilmente. En este
método, las primeras columnas
de la matriz se repiten al final y
se realiza una multiplicación de
diagonales para obtener el
determinante.
- Cofactores
- Sea A una matriz de dimensión mxm. La
matriz adjunta de A, A∗, es una matriz de
la misma dimensión. El elemento de la
posición fila i y columna j de la matriz
adjunta de A (llamado cofactor de la
posición (i,j)) es:
- Siendo la matriz Aij la submatriz de A obtenida al eliminar
la fila ii y columna jj de A. El factor (−1)i+j es 1 si la suma
de las posiciones fila y columna es par, y -1 si es impar. Lo
que hace este factor es determinar el signo.
- Siendo la matriz Aij la submatriz de A obtenida al eliminar
la fila ii y columna jj de A. El factor (−1)i+j es 1 si la suma
de las posiciones fila y columna es par, y -1 si es impar. Lo
que hace este factor es determinar el signo.
- Sea A una matriz de dimensión mxm. La
matriz adjunta de A, A∗, es una matriz de
la misma dimensión. El elemento de la
posición fila i y columna j de la matriz
adjunta de A (llamado cofactor de la
posición (i,j)) es:
- Fórmula de Leibniz
- La fórmula de Leibniz expresa el determinante de una
matriz cuadrada en términos de permutaciones de los
elementos de la matriz. Nombrado en honor de Gottfried
Leibniz, la fórmula para una matriz de orden es: donde y
donde sgn es la función signo de permutaciones en el
grupo de permutación Sn que devuelve +1 y −1 para
permutaciones pares e impares, respectivamente.
- La fórmula de Leibniz expresa el determinante de una
matriz cuadrada en términos de permutaciones de los
elementos de la matriz. Nombrado en honor de Gottfried
Leibniz, la fórmula para una matriz de orden es: donde y
donde sgn es la función signo de permutaciones en el
grupo de permutación Sn que devuelve +1 y −1 para
permutaciones pares e impares, respectivamente.
- Bloques
- Es una matriz que se obtiene al
quitar filas y/o columnas de A. Una
matriz puede partirse en
submatrices marcando líneas
verticales u horizontales en la
matriz. Llamamos a una matriz de
este estilo una matriz de bloques y
a las submatrices marcadas las
llamamos bloques.
- Es una matriz que se obtiene al
quitar filas y/o columnas de A. Una
matriz puede partirse en
submatrices marcando líneas
verticales u horizontales en la
matriz. Llamamos a una matriz de
este estilo una matriz de bloques y
a las submatrices marcadas las
llamamos bloques.
- Sarrus
- Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con los Determinantes: regla de Cramer
- La regla de Cramer es un método viable y eficiente para calcular soluciones a
sistemas con un número arbitrario de incógnitas, siempre que tengamos el
mismo número de ecuaciones que de incógnitas. La regla de Cramer nos dará
la solución única de un sistema de ecuaciones, si existe. Sin embargo, si el
sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones, esto se
indicará con un determinante de cero. Para saber si el sistema es inconsistente
o dependiente, habrá que utilizar otro método, como la eliminación.
- Aplicaciones de los Determinantes
- 1) Para determinar si una colección de vectores son linealmente independientes. O equivalentemente,
calcular el rango de estos vectores ( o él de la matriz que forman sus coordenadas).
- 2) Para determinar si una matriz cuadrada tiene inversa o no. Incluso se puede dar una fórmula de la
matriz inversa usando determinantes.
- 2) Para determinar si una matriz cuadrada tiene inversa o no. Incluso se puede dar una fórmula de la
matriz inversa usando determinantes.
- 1) Para determinar si una colección de vectores son linealmente independientes. O equivalentemente,
calcular el rango de estos vectores ( o él de la matriz que forman sus coordenadas).
- La regla de Cramer es un método viable y eficiente para calcular soluciones a
sistemas con un número arbitrario de incógnitas, siempre que tengamos el
mismo número de ecuaciones que de incógnitas. La regla de Cramer nos dará
la solución única de un sistema de ecuaciones, si existe. Sin embargo, si el
sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones, esto se
indicará con un determinante de cero. Para saber si el sistema es inconsistente
o dependiente, habrá que utilizar otro método, como la eliminación.
- Al aplicar esta fórmula para encontrar la matriz inversa de una matriz,
hacemos uso de encontrar el determinante de la matriz, primeramente;
asimismo, nos ayuda a determinar si una matriz es singular. Para el caso en
que se tenga una matriz singular, por consecuencia concluimos que esa
matriz no tendrá inversa.
- El determinante de una
matriz y de su traspuesta son
iguales
- PROPIEDADES
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