35002605
Description
Mind Map by natalia ramirez, updated more than 1 year ago
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Created by natalia ramirez
almost 3 years ago
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3.11 Aproximación de la normal a la
binomial.
- La Distribución Normal.
- La distribución normal fue reconocida por primera vez por el
francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl
Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y
formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca,
más comúnmente, como la "campana de Gauss". La distribución
de una variable normal está completamente determinada por dos
parámetros, su media y su desviación estándar, denotadas
generalmente por y . Con esta notación, la densidad de la normal
viene dada por la ecuación:
- que determina la curva en forma de campana que tan bien conocemos. Así, se dice que una
característica sigue una distribución normal de media y varianza , y se denota como , si su función de
densidad viene dada por la Ecuación 1
- Al igual que ocurría con un histograma, en el que el área de cada
rectángulo es proporcional al número de datos en el rango de
valores correspondiente si, tal y como se muestra en la Figura 2,
en el eje horizontal se levantan perpendiculares en dos puntos a y
b, el área bajo la curva delimitada por esas líneas indica la
probabilidad de que la variable de interés, X, tome un valor
cualquiera en ese intervalo. Puesto que la curva alcanza su mayor
altura en torno a la media, mientras que sus "ramas" se extienden
asintóticamente hacia los ejes, cuando una variable siga una
distribución normal, será mucho más probable observar un dato
cercano al valor medio que uno que se encuentre muy alejado de
éste.
- Al igual que ocurría con un histograma, en el que el área de cada
rectángulo es proporcional al número de datos en el rango de
valores correspondiente si, tal y como se muestra en la Figura 2,
en el eje horizontal se levantan perpendiculares en dos puntos a y
b, el área bajo la curva delimitada por esas líneas indica la
probabilidad de que la variable de interés, X, tome un valor
cualquiera en ese intervalo. Puesto que la curva alcanza su mayor
altura en torno a la media, mientras que sus "ramas" se extienden
asintóticamente hacia los ejes, cuando una variable siga una
distribución normal, será mucho más probable observar un dato
cercano al valor medio que uno que se encuentre muy alejado de
éste.
- que determina la curva en forma de campana que tan bien conocemos. Así, se dice que una
característica sigue una distribución normal de media y varianza , y se denota como , si su función de
densidad viene dada por la Ecuación 1
- Propiedades de la distribución normal:
- La distribución normal posee ciertas
propiedades importantes que conviene
destacar:
- Tiene una única moda, que
coincide con su media y su
mediana.
- La curva normal es asintótica al eje de
abscisas. Por ello, cualquier valor entre
y es teóricamente posible. El área total
bajo la curva es, por tanto, igual a 1.
- Es simétrica con respecto a su media .
Según esto, para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50% de
observar un dato mayor que la media,
y un 50% de observar un dato menor.
- La distancia entre la línea trazada en la
media y el punto de inflexión de la curva
es igual a una desviación típica (). Cuanto
mayor sea , más aplanada será la curva
de la densidad.
- El área bajo la curva comprendido entre los
valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estándar de la media es igual a
0.95.
- En concreto, existe un 95% de posibilidades de
observar un valor comprendido en el intervalo .
- La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros. La media indica la
posición de la campana, de modo que para diferentes valores de la gráfica es
desplazada a lo largo del eje horizontal. Por otra parte, la desviación estándar
determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de , más
se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. Un valor
pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener
datos cercanos al valor medio de la distribución.
- Tiene una única moda, que
coincide con su media y su
mediana.
- La distribución normal posee ciertas
propiedades importantes que conviene
destacar:
- La distribución normal fue reconocida por primera vez por el
francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl
Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y
formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca,
más comúnmente, como la "campana de Gauss". La distribución
de una variable normal está completamente determinada por dos
parámetros, su media y su desviación estándar, denotadas
generalmente por y . Con esta notación, la densidad de la normal
viene dada por la ecuación:
- Logarítmico-normal.
- La distribución logarítmico normal es continua. Se suele utilizar a
menudo en situaciones en las que los valores se sesgan positivamente,
por ejemplo, para determinar precios de acciones, precios de
propiedades inmobiliarias, escalas salariales y tamaños de depósitos de
aceite.
- Parámetros
- Ubicación, Media, Desviación estándar
- De forma predeterminada, la distribución logarítmico normal
utiliza la media aritmética y la desviación estándar. En el caso de
aplicaciones en las que hay datos históricos disponibles, resulta
más adecuado utilizar la desviación estándar logarítmica y la
media logarítmica o la media geométrica y la desviación
estándar geométrica. Estas opciones están disponibles en el
menú Parámetros de la barra de menús. Tenga en cuenta que el
parámetro de ubicación está siempre en el espacio aritmético.
- Nota: Si tiene datos históricos disponibles con los que definir una
distribución logarítmico normal, es importante calcular la media y la
desviación estándar de los logaritmos de los datos y, a continuación,
introducir estos parámetros de logaritmo mediante el menú Parámetros
(Ubicación, Media logarítmica y Desviación estándar logarítmica). Calcular
la media y la desviación estándar directamente en los datos sin procesar no
le dará la distribución logarítmico normal correcta. También puede optar
por utilizar la función de ajuste de distribución que se describe en Ajuste de
distribuciones a datos históricos.
- Nota: Si tiene datos históricos disponibles con los que definir una
distribución logarítmico normal, es importante calcular la media y la
desviación estándar de los logaritmos de los datos y, a continuación,
introducir estos parámetros de logaritmo mediante el menú Parámetros
(Ubicación, Media logarítmica y Desviación estándar logarítmica). Calcular
la media y la desviación estándar directamente en los datos sin procesar no
le dará la distribución logarítmico normal correcta. También puede optar
por utilizar la función de ajuste de distribución que se describe en Ajuste de
distribuciones a datos históricos.
- De forma predeterminada, la distribución logarítmico normal
utiliza la media aritmética y la desviación estándar. En el caso de
aplicaciones en las que hay datos históricos disponibles, resulta
más adecuado utilizar la desviación estándar logarítmica y la
media logarítmica o la media geométrica y la desviación
estándar geométrica. Estas opciones están disponibles en el
menú Parámetros de la barra de menús. Tenga en cuenta que el
parámetro de ubicación está siempre en el espacio aritmético.
- Ubicación, Media, Desviación estándar
- condicionales:
- La distribución logarítmico normal se utiliza
cuando se dan las siguientes condiciones:
- Los límites superiores e inferiores son ilimitados,
pero la variable incierta no puede estar por debajo
del valor del parámetro de ubicación.
- La distribución se ha sesgado positivamente, con la
mayoría de los valores próximos al límite inferior.
- El logaritmo natural de la distribución es una distribución normal.
- Los límites superiores e inferiores son ilimitados,
pero la variable incierta no puede estar por debajo
del valor del parámetro de ubicación.
- La distribución logarítmico normal se utiliza
cuando se dan las siguientes condiciones:
- Parámetros
- La distribución logarítmico normal es continua. Se suele utilizar a
menudo en situaciones en las que los valores se sesgan positivamente,
por ejemplo, para determinar precios de acciones, precios de
propiedades inmobiliarias, escalas salariales y tamaños de depósitos de
aceite.
- En algunos casos una Distributión Binomial puede aproximarse por una Distributión Normal (que tenga la misma
media y varianza). Si X es una variable aleatoria con una Distribución Normal podemos escribir:
- Entonces, si Y es una variable aleatoria Normal con la misma media y varianza:
- Podemos usar dos aproximaciones de la Normal a la Binomial. En primer lugar, podemos usar la función de
densidad normal como una aproximación de la binomial. En el applet, esta aproximación está representada por la
línea naranja.
- Una segunda aproximación es mejor y más práctica si usamos
las tablas de la Distribución Normal. En este caso usamos una
corrección de continuidad, como en este ejemplo:
- En el applet, esta aproximación se corresponde con la línea roja.
- En el applet queremos representar intuitivamente
cómo en algunos casos la aproximación no es
aceptable y en otros es buena. Cuando el error
absoluto de la aproximación normal es menor que
0.005 dibujamos un rectángulo azul. Si la
aproximación está entre 0.005 y 0.05 dibujamos
un rectángulo amarillo y si la aproximación es
menos precisa el rectángulo es rojo.
- En el applet queremos representar intuitivamente
cómo en algunos casos la aproximación no es
aceptable y en otros es buena. Cuando el error
absoluto de la aproximación normal es menor que
0.005 dibujamos un rectángulo azul. Si la
aproximación está entre 0.005 y 0.05 dibujamos
un rectángulo amarillo y si la aproximación es
menos precisa el rectángulo es rojo.
- En el applet, esta aproximación se corresponde con la línea roja.
- Una segunda aproximación es mejor y más práctica si usamos
las tablas de la Distribución Normal. En este caso usamos una
corrección de continuidad, como en este ejemplo:
- Podemos usar dos aproximaciones de la Normal a la Binomial. En primer lugar, podemos usar la función de
densidad normal como una aproximación de la binomial. En el applet, esta aproximación está representada por la
línea naranja.
- Entonces, si Y es una variable aleatoria Normal con la misma media y varianza:
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