Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales

1. Def. Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada multiplicación de un escalar por un vector.

   • Se clasifican en:
     • La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representará como u ⊕ v.
     • La multiplicación es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c ⊙ u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas
       • Axiomas:
         • 1.Axioma de cerradura bajo la suma u ⊕ v ∈ V
           • 2.Axioma de la conmutatividad de la suma u ⊕ v = v ⊕ A
             • 3.Axioma de la asociatividad de la suma u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w
               • 4.Axioma de la existencia del elemento neutro: u ⊕ 0 = 0 ⊕ u = u
                 • 5.Axioma de la existencia de inversos aditivos u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0
                   • 6.Axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares: c ⊙ u ∈ V
   • Teoremas sobre espacios vectoriales
     • Sea V es un espacio vectorial, y sean u ∈ V y c ∈ R, entonces
       • 1. 0 u = 0 (El escalar 0 por cualquier vector da el vector cero)
         • 2. c 0 = 0 (Cualquier escalar por el vector cero da el vector cero)
           • 3. c u = 0 implica c = 0 ´o u = 0 (Cuando el producto de un escalar por un vector da el vector cero, o el escalar es cero o el vector es el vector cero)
             • 4. (−c) u = − (c u) (Multiplicar por un escalar negativo implica obtener el inverso aditivo del producto del escalar sin el signo por el vector)
   • Subespacio Vectorial
     • Def. Sea V = (V, +, ·) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U ⊆ V ) que no es vacío se dice subespacio vectorial o simplemente subespacio de V si U con las mismas operaciones de suma y multiplicación por escalares que están definidas en V , pero restringidas vectores de U , es un espacio vectorial
       • Teorema Un subconjunto no vacío U de un espacio vectorial V es subespacio de V si cumple las siguientes condiciones:
         • 1.El conjunto U es cerrado bajo la suma; Cualquiera dos elementos de U sumados dan como resultado un elemento que tambien está en U
         • 2.El conjunto U es cerrado bajo la multiplicación por escalares; Cualquier elemento de U multiplicado por cualquier escalar da como resultado un elemento que tambien está en U.