Econometria

Algebra Matricial: \[Y = X*\beta + \epsilon\] \[\hat \beta = (X^T*X)^{-1} *X^T*Y\] \(X_i\) não pode ser combinação linear dos demais. \[Cov(X, Y) = \frac{1}{n}* \sum (X_i - \bar X)*(Y_i - \bar Y)\] \[Var(\epsilon) = \sigma^2*I\ = \left[\begin{array}{ccc} Var(\epsilon_1) & ... & Var(\epsilon_1,\epsilon_n) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ Var(\epsilon_n,\epsilon_1) & ... & Var(\epsilon_n) \end{array} \right] \] \[Var(\beta) = \sigma^2* (X^T * X)^{-1}\] Exemplo: \[Modelo => y_i =  \alpha + \beta_1* x_i + \beta_2* z_i + \epsilon_i\] \[Var(\beta_1) = \frac{\sigma^2}{\sum x_1^2*(1 - R_{12})^2}\] \[Var(\beta_2) = \frac{\sigma^2}{\sum x_2^2*(1 - R_{12})^2}\] Onde \(R_{12}\) é a correçaão entre X1 e X2. Pergunta: Como seria o valor estimado de \(\beta_1\) e \(\beta_2\) no caso de uma regressão com 3 variáveis explicativas?

Relação entre o número de variáveis e o \(R^2\).\[\uparrow nº  de  Variáveis   \rightarrow   \uparrow R^2 \]Podemos utilizar três formas de comparar os modelos com número de variáveis diferentes.1º\[R_{ajust}^2 = 1 - \frac{\frac{SQE}{n-k}}{\frac{SQT}{n-1}} \]2º\[AI = ln2\pi + ln\frac{SQR}{n} + \frac{2k}{n}\]3º\[SC = 1 + ln2\pi + ln\frac{SQR}{n} + k*\frac{ln(n)}{n}\]O critério 2 e 3 serão melhores quanto menores derem o resultado de AI e SC.Consistência:\[\lim_{n \to \infty}E(\hat \theta) = \theta\] ou\[\lim_{n \to \infty}Var(\hat \theta) = 0\]EficiênciaA variância do estimador é mínima entre todos os estimadores para aquele parâmetro, então:\(Var(\theta_{1})\)

Hipótese 1: O modelo é linear nos parâmetros.Isso implica que o modelo poderá não ser linear nas variáveis. Então, se X representa um vetor de dados, poderemos utilizá-lo como X ou log(X). Contudo, o parâmetro deve ser estimado apenas pelo \(\beta\) e não poderá ser estimado, por exemplo, como log(\(\beta\)).Hipótese 2. Erros ~ N(0,\(\sigma^2)\)No caso de violação da hipótese:2.1) O estimador ainda será BLUE;2.2) Os testes de hipóteses ficaram comprometidos;Hipótese 3. \(X_i\) Não correlacionados com o o erro \(\epsilon_i\): \(E(x_i,\epsilon_i)\)No caso de violação da hipótese:3.1. Estimadores viesados e inconsistentes;Obs.: O que pode causar esse tipo de erro:a) Omissão de variável relevante;  Inclusão de variável irrelevante = \(\uparrow\) Variância; Omissão de variável relevante = viés e inconsistência. b) Erro nas variáveis explicativas; c) Simultaneidade ou Endogeneidade.As variáveis autodeterminam-se. Por exemplo. o pão francês é fresco porque vende muito, ou vende muito porque é fresco. Veja, que uma coisa gera a outra e outra gera a uma. Obs.: Variável Instrumental: Cov(aptidão,X) 0. Então X será variável instrumental.Teste para identificação do problema de especificação do modelo: Teste RESET de RamseyHipótese 4. Heterocedasticidade \(Var(\epsilon_i) = \sigma^2\) constante.No caso de violação da hipótese:4.1) Os estimadores deixam de ser BLUE;4.2) Não causa viés nos estimadores;4.3) Causa viés na variância dos estimadores.Hipótese 5. Os erros são não correlacionados: \( E(\epsilon_i,\epsilon_j) = 0\)5.1. Se houver autocorrelação não poderemos mais garantir o Teorema de Gauss Markov;5.2. Logo os estimadores deixa de ser BLUE.5.3. A variância \(Var(\epsilon) = \sigma^2*I \) passa a ter valores de Covariância diferentes de 0 (zero). Assim, causando viés na variância dos estimadores.5.4 Se estivermos trabalhando com modelo com variáveis defasadas \(y_t = \alpha* y_{t-1} + \epsilon_t\), então o estimador será viesado.Teste para autocorrelação:1. Durbin-Watson \(\rightarrow\) faz o teste de autocorrelação de primeira ordem.(a) No caso do modelo ser do tipo \(Y_t = \alpha*Y_{t-1} + \epsilon_t\)Como é feito: \(e_t = \rho*e_{t-1} + u_t\)Durbin-Watson pode ser calculado usando a correlação: \ DW = 2*(1 - \(\rho)\)  ou Calculo do \( DW = \frac{( \sum e_t - e_{t-1} )^2}{\sum (e_t)^2}\)Devemos achar os valores críticos du e dl tabulados para diferentes valores de k (número de variáveis explicativas) e n.Se d If d > du não rejeita H0 : \( \rho = 0 \) If dl (b) No caso do modelo ser do tipo \(Y_t = \alpha*Y_{t-1} + \beta*X_t + \epsilon_t\)Como é feito: \(e_t = \rho*e_{t-1} + u_t\)Nesse caso utiliza-se o h de Durbin-Watson: \(h = \hat \rho*\sqrt \frac{N}{1-N*Var(\beta)} \)2. Breush-Godfrey faz o teste de autocorrelação de qualquer ordem.Hipótese 6. Cada \(X_i\) não pode ser combinação linear das outras(Multicolinearidade).6.1. Se houver multicolinearidade \(\rightarrow\) \(DET(X^T*X)^{-1}\)  \(\xrightarrow{ \infty}\) 0;6.2. As estimativas AINDA serão BLUE;6.2.1. O teste de hipótese não será válido.6.3. Erro padrão será elevado.6.3.1 No caso de multicolinearidade quase-perfeita o erro padrão será muito elevado;6.3.2 No caso de multicolinearidade perfeita o erro padrão não poderá nem ser estimado.

Regressão Múltipla

Hipótese