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| Questão | Responda |
| Teorema *el recíproco es falso* | Si ƒ es derivable en a y tiene un máximo o mínimo local en x=a, entonces ƒ'(a)=0 |
| Corolario (parte 1) | Sea ƒ una función definida en (a,b) 1. si ƒ'(x)>0, para todo x ϵ (a,b), entonces ƒ es creciente en (a,b) |
| Corolario (parte 2) | Sea ƒ una función definida en (a,b) 2. si ƒ'(x)<0, para todo x ϵ (a,b), entonces ƒ es decreciente en (a,b) |
| Teorema (Criterio de la primera derivada para extremos locales) | Sea ƒ una función continua en un intervalo abierto I que contiene a c, y derivable en I, excepto quizá en x=c |
| Teorema (Criterio de la primera derivada para extremos locales) -parte 1- | 1. Si ƒ'(x)<0, para x<c, y ƒ'(x)>0, para x>c, entonces ƒ tiene un mínimo local en x=c |
| Teorema (Criterio de la primera derivada para extremos locales) -parte 2- | 1. Si ƒ'(x)>0, para x<c, y ƒ'(x)<0, para x>c, entonces ƒ tiene un máximo local en x=c |
| Teorema (concavidad) | Sea ƒ una función dos veces derivable en (a,b) 1. Si ƒ''(x)>0, para todo x en (a,b), entonces ƒ es cóncava hacia arriba en (a,b) 2. Si ƒ''(x)<0, para todo x en (a,b), entonces ƒ es cóncava hacia abajo en (a,b) |
| Definición (parte 1) | Sea ƒ una función definida en un intervalo (a,b) 1. Decimos que ƒ es cóncava hacia arriba en (a,b), si ƒ' es una función creciente en (a,b) |
| Definición (parte 2) | Sea ƒ una función definida en un intervalo (a,b) 1. Decimos que ƒ es cóncava hacia abajo en (a,b), si ƒ' es una función decreciente en (a,b) |
| Teorema | Sea ƒ una función dos veces derivable en (a,b) 1. Si ƒ''(x)>0, para todo x en (a,b), entonces ƒ es cóncava hacia arriba en (a,b). 2. Si ƒ''(x)<0, para todo x en (a,b), entonces ƒ es cóncava hacia abajo en (a,b). |
| Definición (punto de inflexión) | Sean ƒ una función continua en (a,b) y c ϵ (a,b). Decimos que ƒ tiene un punto de inflexión en x=c si la concavidad de la gráfica de ƒ cambia en este punto, es decir ƒ es cóncava hacia arriba en (a,c) y cóncava hacia abajo en (c,b) o al contrario. |
| Teorema | Si ƒ es dos veces derivable en (a,b) y ƒ'' cambia de signo en c ϵ (a,b), entonces ƒ tiene un punto de inflexión en x=c |
| Teorema *el recíproco es falso* | Si ƒ tiene un punto de inflexión en x=c y ƒ''(c) existe, entonces ƒ''(c)=0 |
| Teorema (Criterio de la segunda derivada para extremos locales) | Sea ƒ una función dos veces derivable en un intervalo que contiene a x=a y supongamos que ƒ'(a)=0 1. Si ƒ''(a)>0, entonces ƒ tiene un mínimo local en a. 2. Si ƒ''(a)<0, entonces ƒ tiene un máximo local en a. |
| Hecho | El signo de la segunda derivada nos habla de la concavidad, así si ƒ''(a)>0, entonces ƒ es cóncava hacia arriba en un intervalo alrededor de x=a, y, por tanto, en x=a debe haber un mínimo local. |
| Teorema | Sea ƒ una función tal que ƒ''(a) existe. 1. Si ƒ tiene un mínimo local en a, entonces ƒ''(a)>=0 2. Si ƒ tiene un máximo local en a, entonces ƒ''(a)<=0 |
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