LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y
LOS ÁNGULOS
Medidas de los ángulos
sistema sexagesimal
un sistema de numeración en base
60, es cada unidad se divide en 60
unidades más pequeñas.
cada grado(º) está formado por 60
minutos (′) y, a su vez, cada minuto
está formado por 60 segundos (′′).
Suma de dos ángulo
Paso 1:Las unidades de los
dos ángulos (grados con
grados, minutos con
minutos y segundos con
segundos) y resolvemos la
suma.
Paso 2: Si el número de
segundos sobrepasa los
60”, dividimos dicho
número entre 60. El
cociente se añade a los
minutos y el resto se queda
como segundos.
Paso 3:caso de que se
superen los 60′, repetimos el
procedimiento para los
minutos. El resultado
obtenido es el resultado de la
suma de
Resta de ángulo
Paso 1: las unidades de
los dos ángulos (grados
con grados, minutos con
minutos y segundos con
segundos).
Paso 2: Si el número de
segundos del minuendo es
inferior al del sustraendo,
convertimos un minuto del
minuendo en sesenta
segundos (1′ = 60”).
Paso 3: En el caso de que el
número de minutos del
minuendo sea inferior al del
sustraendo, repetimos el
procedimiento y convertimos un
grado en 60 minutos (1 ̊ = 60′).
Paso 4: Resolvemos la resta.
Multiplicación de un ángulo por un
número entero
Paso 1: Multiplicamos por el
número entero los grados,
minutos y segundos por
separado.
Paso 2: Si el número de
segundos resultante sobrepasa
los 60”, dividimos dicho
número entre 60. El cociente se
añade a los minutos y el resto
se queda como segundos.
Paso 3: En el caso de que se
superen los 60′, repetimos el
procedimiento para los
minutos. El resultado
obtenido es el resultado de la
multiplicación.
Divisíón de un ángulo por un número entero
Paso 1: Dividimos los grados entre el número entero. El cociente son
grados y el resto, multiplicado por sesenta, debe añadirse a los minutos.
Paso 2: Repetimos el procedimiento para los minutos. Si el resto no es cero, lo
multiplicamos por sesenta para obtener su equivalente en segundos.
Paso 4: Unimos el resultado de los tres cocientes para
obtener el resultado de la división.
Paso 3: Repetimos el procedimiento para los segundos.
Clasificación de los ángulos
Según su amplitud
Ángulo nulo
Los dos lados son
coincidentes, por lo tanto,
forman un ángulo de 0 ̊.
Ángulo recto
Sus lados son
perpendiculares y el
ángulo que se forma
es de 90 ̊.
Ángulo agudo
Sus lados forman un
ángulo mayor que 0 ̊ y
menor que 90 ̊, es
decir, el ángulo tiene
una abertura menor
que un ángulo recto.
Ángulo obtuso
Sus lados forman un ángulo
mayor que 90 ̊ y menor que
180 ̊, es decir, tiene una
abertura mayor que un
ángulo recto.
Ángulo llano
Sus lados están sobre una
misma recta, es decir,
forman un ángulo de 180 ̊.
Ángulo completo
Sus lados son coincidentes, es
decir, forman un ángulo de 360 ̊.
Según la posición de sus semirrectas
Ángulo cóncavo
La amplitud es mayor
que 180 ̊ y menor que
360 ̊.
Ángulo convexo
La amplitud es
mayor que 0 ̊ y
menor que 180 ̊.
Ángulos consecutivos y adyacentes
Ángulos consecutivos
Poseen el mismo
vértice y tienen un
lado común.
Ángulos consecutivos
Tienen el vértice y un lado en
común, al tiempo que sus
otros dos lados son
semirrectas opuestas y
juntos equivalen a un ángulo
llano.
Ángulos complementarios y suplementarios
Según el ángulo que forman sus lados (dos
ángulos que suman un ángulo recto o un
ángulo llano)
Ángulos
complementarios
Dos ángulos A y B son ángulos complementarios si
suman 90 ̊. Si conocemos A, obtenemos B con la
siguiente operación: B = 90° − A
Ángulos
suplementarios
Dos ángulos A y B son ángulos
suplementarios si suman 180 ̊. Si
conocemos A, obtenemos B con
la siguiente operación: B = 180° − A
Operaciones gráficas con ángulos
suma
sumar dos ángulos gráficamente,dibujar
los dos ángulos de manera
consecutiva,compartiendo el vértice y un
lado, para dar lugar a otro ángulo que
los comprenda a ambos.
Resta
restar dos ángulos gráficamente,superponerlos, de
manera que compartan vértice y un lado. Así, el ángulo
mayor comprende al menor, y la parte restante es la
diferencia entre ambos, es decir, el resultado de la
resta.
Multiplicación por un número natural
multiplicar grá camente un ángulo por
un número natural, es necesario
colocar el ángulo en posición
consecutiva consigo mismo tantas
veces como indique el número
natural.
División entre un número natural
dividir un ángulo grá camente, primero se
debe realizar la división de forma
numérica y después representar los
ángulos resultantes con el transportador.
Construcción de rectas paralelas
Paso 1: Centramos el compás en P y
trazamos un arco de circunferencia
con una abertura cualquiera que corte
con r. Llamamos A al punto de
intersección entre el arco y la recta r.
Paso 2: Centramos el compás en A y,
manteniendo la misma abertura, trazamos
otro arco que pase por P y corte r.
Llamamos B al punto de intersección
entre el arco y la recta r.
Paso 3: Con el compás, tomamos la
abertura desde B a P.
Paso 4: Con la nueva amplitud,
centramos el compás en A y marcamos
la intersección con el arco que pasa por
A. Llamamos C a este punto.
Paso 5: Si unimos P y C
con una regla, obtenemos
la recta s, que es
paralela a la recta r.
División de un segmento en partes iguales
Paso 1: Desde el
extremo A del
segmento trazamos
con la regla una
semirrecta r, que
puede tener cualquier
inclinación.
Paso 2: Sobre la semirrecta r,
construimos segmentos iguales, uno a
continuación del otro. Para ello,
centramos el compás en A y, con una
abertura cualquiera, trazamos un
pequeño arco sobre r. Repetimos el
proceso centrando el compás en la
intersección del pequeño arco con r y
mantenemos la misma abertura.
Repetimos este paso tantas veces
como divisiones queramos hacer.
Paso 3: Trazamos con la regla una recta
que pase por el extremo del último
segmento y por el punto B.
Paso 4: Con la escuadra y el cartabón, trazamos
rectas paralelas a la que hemos dibujado en el
paso anterior. Las intersecciones de estas líneas
con AB serán todas las divisiones del segmento.
Después
Paso 1:
Dibujará el
primer lado.
Paso 2:
Dibujará el
segundo lado
contiguo.
Paso 3: Dibujará los
otros dos lados que
faltan para completar
la cuadrícula.
Paso 4: Dividirá los cuatro
lados en ocho partes
iguales.
Paso 5: Trazará la
cuadrícula y pintará
las casillas de
blanco y negro.
Construcciones con regla y compás
Construcción de rectas perpendiculares
Paso 1: Centramos el compás en A y trazamos
un arco con una abertura cualquiera. Llamamos C
a la intersección del arco con la recta r.
Paso 2: Centramos el compás en C y,
manteniendo la misma abertura, marcamos
la intersección con el arco. Llamamos D a
este punto.
Paso 3: Centramos el compás en D y,
manteniendo la misma abertura, generamos un
nuevo arco que corte el arco dibujado en el
primer paso. Llamamos E al punto de
intersección entre los dos arcos.
Paso 4: Centramos el compás en E y,
manteniendo la misma abertura, marcamos la
intersección con el arco creado en el paso
anterior. Llamamos F a este punto.
Paso 5: Si unimos F y A con una regla,
obtenemos la recta s, que es perpendicular
a la recta r.
Construcciones con GeoGebra
Paso 1: Con la
herramienta Semirrecta
trazamos una
semirrecta r desde uno
de los extremos del
segmento AB.
Paso 2: Dividimos la semirrecta r en cuatro
partes iguales. Para ello, seleccionamos la
herramienta Circunferencia (centro, radio) y
dibujamos cuatro circunferencias del mismo
radio. La primera circunferencia la centramos
en B y marcamos el punto de intersección
con r, que será D. La segunda circunferencia
la centramos en D y marcamos el punto de
intersección con r, que será E, y así
sucesivamente.
Paso 3: Con la
herramienta Segmento
unimos los puntos G y
A.
Paso 4: Para hacer las divisiones
en el segmento AB, con la
herramienta Recta paralela
trazamos paralelas a h que pasen
por los puntos F, E y D.
Paso 5: Marcamos las
intersecciones de estas
paralelas con el segmento
AB y las llamamos H, I y J.
Podemos ocultar todas las
rectas y puntos
intermedios, ya que no los
necesitamos para el dibujo
de las vías del tren.
Construcción de rectas perpendiculares
Paso 1: Utilizamos la herramienta
Recta perpendicular y trazamos
rectas perpendiculares a AB que
pasen por H, I y J. Para ello,
pulsamos sobre el punto y
después sobre el segmento AB.
Paso 2: Para comprobar
que realmente son líneas
perpendiculares y el ángulo
entre ellas es de 90 ̊,
podemos usar la
herramienta Ángulo y hacer
clic en las rectas vertical y
horizontal.
Construcción de rectas paralelas
Paso 1: Seleccionamos la
herramienta Recta paralela y,
haciendo clic sobre el segmento AB
y arrastrando el cursor hacia la
derecha, la dibujamos donde
creamos conveniente.