Sistema de ecuaciones lineales, Rectas y planos.

Definición Espacios vectoriales
1. Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación.
  1. Los axiomas deben ser válidos para todos los .vectores u , v y w en V y todos los escalares α y β reales. Llamamos u + v a la suma de vectores en V , y α v al producto de un número real α por un vector v ∈ V
    2. Propiedades de los espacios vectoriales
Combinación lineal de vectores y espacio generado por un conjunto de vectores.
1. Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por algunos escalares. Es decir, una combinación lineal es una expresión de la forma:
  1. 1. Para el caso particular de dos vectores u, v , y dos números a,b, entonces una combinación lineal de u y v está dada por el vector au + bv
      1. La siguiente figura muestra la representación gráfica del vector
2. Espacio Generado El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores v1, v2,. . . , vk en R n se llama espacio generado por los vectores v1, v2,. . . , vk .
  1. Este conjunto se representa por Gen {v1, v2, . . . , vk } .
    1. Es decir, es el conjunto formado por todas las combinaciones lineales c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk
      1. donde c1,c2,. . . ,ck son escalares libres.
      2. Si V = Gen {v1, v2, · · · , vk } se dice que los vectores v1, v2,. . . , vk generan a V y que {v1, v2, . . . , vk } es un conjunto generador de V.
Independencia lineal de vectores.
1. En caso de que un conjunto de vectores no sea linealmente dependiente, se dice que es linealmente independiente ( o libre ) . Por tanto, escribiendo la negación de la definición de dependencia lineal, tendremos que un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando:
  1. (a) Ninguno de ellos es combinación lineal de los demás.
    1. O equivalentemente: (b) El vector 0 no es combinación lineal de ellos, a no ser que la combinación tenga coeficientes todos nulos. Expresando de otra manera, La única forma de poner como combinación lineal de los vectores, es con todos los coeficientes nulos. 0
      1. Ejemplo
        Veamos que u=(3,1) y v=(4,5) en ℜ2 son linealmente independientes. Para ello intentaremos poner (0,0) como combinación lineal de ellos, y encontraremos que sólo es posible con coeficientes nulos.
        Este sistema es compatible determinado, por tanto sólo tiene la solución α=0, β=0.
        Así pues, la única forma de poner (0,0) como combinación lineal de u, v es con coeficientes α, β nulos. Esto significa que son linealmente independientes.
Base y dimensión de un espacio vectorial.
1. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente
  1. Propiedades de las bases. 1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible). 2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
    1. Ejemplos de bases.
      1. 1. La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜ n:
        - Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. - Son sistema generador de ℜ n porque todo vector (a1,a2,. . . ,an)∈ ℜ n se puede expresar como combinación lineal de ellos: (a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)
      2. Otra base de ℜ 3 distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).
        - Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. - Son sistema generador de ℜ 3 porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner como combinación lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos α , , β γ que satisfagan
        (a,b,c)= α (1,0,0)+ β (1,1,0)+γ (0,2,-3) Se obtiene un sistema:
        en las incógnitas α , , β γ , que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c.
      3. (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) en ℜ 3 no forman base porque no son linealmente independientes (su determinante es nulo).
2. Dimesion: Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
  1. Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio. conjunto de vectoresde dicho espacio.
    1. Ejemplo de dimensión
      1. 1. ℜn tiene dimensión n, pues tiene una base de n elementos (p.ej. la canónica).
      2. M2x2= {matrices 2x2 con términos reales} tiene dimensión 4. Una base de M2x2 es:
      3. P2= {polinomios de grado≤ 2 con coeficientes reales} tiene dimensión 3. Una base de P2 es, por ejemplo, la formada por los tres polinomios siguientes:
Rango, nulidad, espacio renglón y espacio columna
1. Espacio nulo y nulidad de una matriz
  1. NA se denomina el espacio nulo de A y n(A) 5 dim NA se denomina nulidad de A. Si NA contiene sólo al vector cero, entonces n(A) 5 0.
    1. 1. NULIDAD DE UNA MATRIZ Definición.-La nulidad denotada como: v(A)= dimNAa es la dimensión del espacio nulo.
2. RANGO DE UNA MATRIZ
  1. Sea A una matriz de m* n . Entonces el rango de A, denotado:
    1. p(A)= dim Im(A) es la dimensión de la imagen.
3. IMAGEN O RECORRIDO DE UNA MATRIZ
  1. La imagen o recorrido de una matriz A esta formado por los vectores que satisfacen al sistema homogéneo.
4. ESPACIO DE LOS REGLONES Y ESPACIO DE LAS COLUMNAS DE UNA MATRIZ
  1. Si A es una matriz de m * n , sean { r1 ,r2 ,...,rn } los renglones de A y { c1 ,c2 ,...,cn} las columnas de A. Entonces se Define:

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