Teoría de Juegos: Juegos Estratégicos con Información Completa (I)

Definición

Un juego estratégico con información completa, tiene los siguientes componentes: (1) Un conjunto finito de jugadores, Un conjunto no vacío de acciones Aj para cada jugador j, y Una relación de preferencias para cada jugador en el conjunto A de posibles resultados. En un juego estratégico, cada jugador tiene un conjunto Aj de acciones disponibles para escoger. El número de acciones disponibles puede ser diferente de jugador a jugador. Sea "a" un perfil de acciones tal que "aj" es una acción disponible para el jugador j. El conjunto A incluye todas las posibles combinaciones de acciones. Si la relación de preferencias puede ser representada por una función, entonces el juego estratégico puede definirse:  Un conjunto finito de jugadores, Un conjunto no vacío de acciones Aj para cada jugador j, y Una relación de preferencias para cada jugador en el conjunto A de posibles resultados.

Historias y Estrategias Puras

Historias Sea hj una historia para el jugador j, esto es el conjunto de información que recibe el jugador j antes de escoger una acción. La información puede o no incluir acciones que hayan tomado los jugadores que lo antecedieron, y las suyas propias, Sea Hj la familia de conjuntos de historias para el jugador j tal que hj pertenece a Hj. Sea Aj(hj) subconjunto de Aj el conjunto de acciones disponibles para el conjunto de información hj. Estrategias Puras Una estrategia pura para el jugador j es una función tal que para todo conjunto de información hj pertenece a Hj. Entonces la función pertenecerá a el conjunto de acciones disponibles para el conjunto de información hj. Sea Sj, el conjunto de todas las estrategias puras para el jugador j tal que la función de estrategia pura de j (sj) pertenece a Sj. Sea "s" un perfil de combinación de estrategias puras, tal que sj es una estrategia pura del jugador j. El conjunto S incluye todas las posibles combinaciones de estrategias puras. Entonces s pertenecerá a S. Sea s-j una combinación de estrategias puras para cada unos de los jugadores exceptuando al jugador j Relación entre Historias y Estrategias Puras en Juegos Estratégicos En todo juego estrátegico con información completa, el conjunto de información Hj contiene como único elemento la historia vacía o inicial ∅, esto es, para todo jugador j. Hj = {∅} Por tanto, en un juego estratégico con información completa Sj será igual a Aj. Un juego estratégico con Estrategias es un juego estratégico G con información completa, con el conjunto [ J, Sj, uj ] donde: J es el conjunto finito de jugadores, Sj es el conjunto no vacio de estrategias puras para cada jugador j ,  y uj es la función de pagos que representa la relación entre preferencias para cada jugador j en el conjunto de todas las combinaciones posibles de estrategias S

Dominio Público

Se dice que un evento E es dominio público para todo jugador j si: Todos los jugadores conocen E, Todos los jugadores saben que todos ellos conocen E, y Todos los jugadores saben que todos ellos saben que todos ellos conocen E. También llamado "conocimiento común". Los eventos incluyen información como, entre otros, la estructura del juego, la racionalidad, los pagos u otra característica de los jugadores.

Definiciones de Dominancia

Dominancia Estricta: Para todo jugador j, dadas dos estrategias s'j y s''j del conjunto Sj, se dice que las estrategia s'j domina estrictamente a la estrategia s''j si para toda combinación de estrategias s-j de los demás jugadores se cumple que uj(s'j, s-j) > uj(s''j, s-j). Dominancia Débil: Para todo jugador j, dadas dos estrategias s'j y s''j del conjunto Sj, se dice que las estrategia s'j domina debilmente a la estrategia s''j si para toda combinación de estrategias s-j de los demás jugadores se cumple que uj(s'j, s-j) ≥ uj(s''j, s-j). Conceptos de Dominación Estricta: Una estrategia sj es estrictamente dominante para el jugador j si para toda combinación de estrategias s-j de los demás jugadores y para toda estrategia s'j diferente a sj del jugador j se cumple uj(s'j, s-j) > uj(s''j, s-j). Una estrategia sj es estrictamente dominada para el jugador j si para toda combinación de estrategias s-j de los demás jugadores existe una estrategia s'j indiferente a sj para jugador j tal que uj(s'j, s-j) < uj(s''j, s-j). Conceptos de Dominación Estricta: Una estrategia sj es débilmante dominante para el jugador j si para toda combinación de estrategias s-j de los demás jugadores y para toda estrategia s'j diferente a sj del jugador j se cumple uj(s'j, s-j) ≥ uj(s''j, s-j). Una estrategia sj es débilmente dominada para el jugador j si para toda combinación de estrategias s-j de los demás jugadores existe una estrategia s'j indiferente a sj para jugador j tal que uj(s'j, s-j) ≤ uj(s''j, s-j).

Soluciones de Juego con Criterios de Dominancia

Existen tres conceptos de un juego que utilizan los conceptos de dominancia : Equilibrio de Estrategias Dominantes Eliminación Iterativa de Estrategias Estrictamente Dominadas Eliminación Iterativa de Estrategias Débilmente Dominadas

Equilibrios en Estrategias Dominantes

Dado un juego estratégico G, la combinación de estrategias s* es un equilibrio en estrategias dominantes si para todo jugador j se cumple que sj es una estrategia dominante. Por lo general esta definición de equilibrio se aplica para estrategias estrictamente dominantes pero puede extenderse al caso de estrategias débilmente dominantes. Todo equilibrio en estrategias estrictamente dominantes es único.  

Eliminación Iterativa Estricta

Dado el juego estratégico G, el proceso de eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas procede como sigue: 1. Defina Ej0 = Sj como el conjunto inicial de estrategias puras del jugador j 2. Defina E0 como el conjunto inicial de todas las combinaciones de estrategias 3. Defina G0 como el juego estratégico con el conjunto inicial de estrategias Ej0 de manera que G0 = [ J, Ej0, uj ] 4. Defina en forma recursiva para cada jugador j , Ejq. Donde ujq es la función de pagos del jugador j restringida a todas las combinaciones de estrategias Eq 5. Deina además Eq como el resultado de todas las combinaciones de Ejq 6. Defina en forma recursiva Gq = [ J, Ejq, ujq] 7- Si Sj es finito entonces un q* finito tal que, para todo jugador j y todo q>q*: Defina asimismo Eq* como el resultado de todas las combinaciones de Ejq* Eliminación Iterativa estricta: El conjunto de estrategias Eq* del juego estratégico G sobrevive la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas si para todo jugador j, ninguna estrategia Ejq* es estrictamente dominada. En otras palabras, el proceso de iteración acabará en un número máximo de iteraciones q*

Eliminación Iterativa Débil

Dado el juego estratégico G, el proceso de eliminación iterativa de estrategias débilmente dominadas procede como sigue: 1. Defina Dj0 = Sj como el conjunto inicial de estrategias puras del jugador j 2. Defina D0 como el conjunto inicial de todas las combinaciones de estrategias. 3. Defina G0 como el juego estratégico con el conjunto inicial de estrategias Dj0 de manera que G0 = [ J, Dj0, uj ] 4. Defina en forma recursiva para cada jugador j, donde ujq es la función de pagos del jugador j restringida a todas las combinaciones de estrategias Dq. 5. Defina además Dq como el resultado de todas las combinaciones de Djq 6. Defina en forma recursiva Gq = [ J, Djq, ujq ] 7. Si Sj es finito, entonces un q* finito tal que, para todo jugador j y todo q>q* . Djq = Djq*. Defina así mismo a Dq* como el resultado de todas las combinaciones de Djq* Eliminación Iterativa Débil: El conjunto de combinaciones de estrategias Dq* del juego estratégico G, sobrevevive la eliminación iterativa de estrategias débilmente dominadas si, para todo jugador j, ninguna estrategia Djq* es débilmente dominada.

Resolución por Dominancia

Un juego estratégico G = [ J, Sj, uj ] es resoluble por dominancia si, para todo jugador j, y para toda combinación s-j de estrategias sobrevivientes de los demás jugadores. Para todo s'j, s''j:  uj(s'j, s-j) = uj(s''j, s-j) Entre otros casos, la resolución por dominancia incluye: Para cada jugador j, solo una estrategia sobrevive el proceso de eliminación iterativa (débil o estricta) Para cada jugador j, y para cualquier combinación de estrategias s-j de los demás jugadores, el pago que obtiene es el mismo, independientemente de las estrategias que escoja.

Relación entre los Conceptos de Dominancia

Sea un juego estratégico G = [ J, Sj, uj ] y una combinación de estrategias s*: Si s* está conformado por estrategias estrictamente dominantes, entonces es la única combinación que sobrevive al proceso de eliminación iterativa estricta y al de eliminación iterativa débil. Si s* está conformado por estrategias débilmente dominantes entonces sobrevive a ambos procesos de eliminación iterativa, pero no es necesariamente la única combinación superviviente.