Princípios de contagem e probabilidade

Princípios de Contagem Princípio Fundamental da Contagem O Princípio Fundamental da Contagem, também conhecido como princípio multiplicativo, é utilizado para determinar o número de maneiras de realizar uma série de eventos sucessivos e independentes. Se um evento pode ocorrer de ( n ) maneiras e outro evento pode ocorrer de ( m ) maneiras, então os dois eventos podem ocorrer de ( n \times m ) maneiras. Exemplo: Se você tem 3 camisas e 2 calças, o número de combinações possíveis de uma camisa e uma calça é ( 3 \times 2 = 6 ). Permutações  Permutações são arranjos de todos os elementos de um conjunto em uma ordem específica. O número de permutações de ( n ) elementos é dado por ( n! ) (fatorial de ( n )). Exemplo: Para 3 elementos (A, B, C), as permutações são: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. O número total é ( 3! = 6 ). Combinações Combinações são seleções de elementos de um conjunto onde a ordem não importa. O número de combinações de ( n ) elementos tomados ( k ) de cada vez é dado por ( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ). Exemplo: Para escolher 2 elementos de um conjunto de 3 (A, B, C), as combinações são: AB, AC, BC. O número total é ( \binom{3}{2} = 3 ). Probabilidade A probabilidade é uma medida da chance de um evento ocorrer. É calculada como o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados possíveis. Probabilidade de um Evento Simples Se um evento ( A ) pode ocorrer de ( m ) maneiras em um espaço amostral de ( n ) resultados possíveis, a probabilidade de ( A ) ocorrer é ( P(A) = \frac{m}{n} ). Exemplo: A probabilidade de tirar um 3 em um dado de 6 faces é 1/6 Probabilidade Condicional A probabilidade condicional de um evento ( A ) dado que ( B ) ocorreu é ( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} ), onde ( P(A \cap B) ) é a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem.