Trojuholník

Definícia

Trojuholník  je časť roviny ohraničená troma navzájom rôznobežnými priamkami.

Základné prvky trojuholníka

vrcholy = body   A,B,C strany = úsečky  a,b,c  alebo AB,BC,AC uhly  -     vnútorné   α, β, γ                      vonkajšie  α', β', γ', α'', β'', γ''

Trojuholník Uhly (binary/octet-stream)

Vrcholy

A,B,C  body priesečníky strán neležia na jednej priamke

Strany

 a, b, c  úsečky  časti priamok medzi priesečníkmi  strana leží oproti vrcholu s rovnakým   názvom  súčet dĺžok dvoch kratších strán trojuholníka musí byť väčší ako najdlhšia strana (trojuholníková nerovnosť)

Uhly

a,b,g –  časti roviny ohraničené dvoma polpriamkami so spoločným vrcholom (susednými stranami) Súčet veľkostí vnútorných uhlov trojuholníka je 180° Najväčší uhol leží oproti najdlhšej strane; najmenší oproti najkratšej Súčet vnútorných uhlov v každom trojuholníku trojuholníka je 180 Vonkajšie uhly trojuholníka sú susednými uhlami vnútorných uhlov. Každý trojuholník má 6 vonkajších uhlov. Vonkajší a vnútorný uhol pri tom istom vrchole vytvárajú spolu priamy uhol (ich súčet je 180°).

Rozdelenie trojuholníkov

Podľa veľkosti uhlov ostrouhlý – má všetky tri uhly ostré (menšie ako 90°) pravouhlý – jeden uhol pravý (90°, najčastejšie pri vrchole C) a dva uhly ostré tupouhlý – má jeden uhol tupý (väčší ako 90° a menší ako 180°) a dva ostré

Podľa veľkosti strán rovnostranný – všetky tri strany má zhodné, má tri 60° vnútorné uhly rovnoramenný – dve strany má zhodné, voláme ich ramená, zvyšná strana je základňa, uhly pri základni sú zhodné rôznostranný – všetky tri strany nezhodné

Trojuholník ostrouhlý

Má všetky tri uhly ostré (< 90°) Priesečník výšok leží vo vnútri trojuholníka

Ostrouhlý (binary/octet-stream)

Trojuholník pravouhlý

Názvy strán: najdlhšia strana –  prepona, kratšie strany – odvesny Jeden vnútorný uhol je pravý (= 90°), ostatné sú ostré (< 90°) Priesečník výšok je totožný s  hlavným vrcholom trojuholníka

Pravouhlý (binary/octet-stream)

Trojuholník tupouhlý

má jeden uhol tupý (väčší ako 90° a menší ako 180°) a dva ostré (< 90°)  

Tupouhlý (binary/octet-stream)

Trojuholník rovnostranný

má všetky tri strany zhodné a = b = c má tri 60° vnútorné uhly (všetky uhly má zhodné) α = β = γ Môže byť len ostrouhlý

Rovnostranný (binary/octet-stream)

Trojuholník rovnoramenný

Má dve strany rovnako dlhé (zhodné)  – nazývajú sa ramená Tretia strana sa nazýva základňa Vrchol oproti základni sa nazýva   hlavný vrchol Môže byť ostrouhlý, pravouhlý, aj tupouhlý Uhly pri základni sú zhodné a vždy ostré

Rovnoramenný (binary/octet-stream)

Trojuholník všeobecný (rôznostranný)

Každá strana má inú dĺžku Musí platiť trojuholníková nerovnosť Môže byť                - ostrouhlý,                - pravouhlý,                - aj tupouhlý

Všeobecný (binary/octet-stream)

Je to úsečka na priamke prechádzajúcej vrcholom trojuholníka a je kolmá na protiľahlú stranu. V ľubovoľnom trojuholníku prechádzajú všetky tri výšky jedným bodom, ktorý nazývame ortocentrum (V).  Ortocentrum môže mať ľubovoľnú polohu: vo vnútri – ak je trojuholník ostrouhlý na obvode – ak je trojuholník pravouhlý mimo trojuholníka – ak je trojuholník tupouhlý

Výška trojuholníka

Výška (binary/octet-stream)

Ťažnice trojuholníka

Ťažnica je spojnica vrcholu a stredu protiľahlej strany Ťažisko rozdeľuje ťažnicu v pomere 2:1 Dlhšia časť smeruje k vrcholu Kratšia časť smeruje k stredu strany Bod T – ťažisko (priesečník všetkých ťažníc trojuholníka) Ťažisko leží vždy vo vnútri trojuholníka

ťažnice (binary/octet-stream)

Stredné priečky trojuholníka

Stredná priečka je spojnica stredov strán trojuholníka Dĺžka strednej priečky sa rovná polovici dĺžky príslušnej strany Stredné priečky rozdelia trojuholník na 4 zhodné trojuholníky Stredná priečka je rovnobežná s príslušnou stranou

Stredné Priečky (binary/octet-stream)

Kružnica vpísaná trojuholníku

Je to kružnica, ktorá sa dotýka všetkých strán daného trojuholníka. Stredom kružnice (S) vpísanej trojuholníku ABC je priesečník osí uhlov trojuholníka ABC (a leží vždy vnútri trojuholníka!). Polomer je vzdialenosť stredu od ľubovoľnej strany trojuholníka.

Vpísaná (binary/octet-stream)

Kružnica opísaná trojuholníku

Je to kružnica, ktorá obsahuje vrcholy daného trojuholníka. Stredom kružnice opísanej trojuholníku ABC je priesečník osí strán trojuholníka ABC. Polomer je spojnica stredu s ľubovoľným vrcholom.

Opísaná Kružnica (binary/octet-stream)