Ons gaan kyk na soorte getalle deur vergelykings op te los en te kyk watter soort getal die antwoord is:x−2=0, dus x=2 wat 'n natuurlike getal is Nx+2=0, dus x=−2 wat 'n heelgetal is Z2x−1=0, dus x=12 wat 'n rasionale getal is Qx2=2, dus x=√2 wat 'n irrasionale getal is Q′Let op dat al hierdie voorbeelde reële getalle is. Dit kan as volg voorgestel word:
Kyk na die vergelyking: x2=−1Die oplossing daarvoor is x=±√−1Maar dit is NIE 'n reële antwoord nie.Hierdie soort getal word Imaginêr genoem en die naam daarvoor is i. Dit beteken dat i2=−1.Dit beteken bv. dat √−16=4i.Wanneer hierdie getalle met reële getalle gemeng word, word dit Komplekse getalle genoem. Die simbool daarvoor is C.'n Voorbeeld daarvan is 2+4i.Die Komplekse getallestelsel bestaan dus uit alle Reële en Imaginêre getalle, asook alle kombinasies daarvan.
Komplekse getalle word op 'n twee-dimensionele vlak voorgestel, soos 'n x- en 'n y-as. Die x-as is die reële gedeelte en die y-as is die imaginêre deel daarvan. Op die skets hier lansgsaan is die getalle:z1=2−3i en z2=−3+i voorgestel.
Optel:Dit werk net soos algebra: Tel soortgelyke getalle bymekaar.Voorbeeld:
(2−3i)+(−4+5i)=−2+2i(−1+4i)−(−5+2i)=4+2i
Vermenigvuldig:Dit werk ook soos algebra, maal die hakies uit. MAAR onthou dat i2=−1Voorbeeld:(2−3i)(1+4i)=2+5i−12i2=2−5i+12=14+5i
Deel:Wat ons hier gaan doen is om te sorg dat daar nie meer imaginêre getalle in die noemer is nie. Dit is dieselfde soort bewerking as om die noemer te rasionaliseer. Voorbeeld, deel met imaginêre getal:5i=5i×ii=5ii2=−5iVoorbeeld, deel met komplekse getal. Gebruik hier die beginsel dat, wanneer mens verskil van vierkante kry, die antwoord reëel is:2−i1+2i=2−i1+2i×1−2i1−2i = 2−5i+2i21−4i2=−5i5=−i
Slide 5
Oefening
Probeer die volgende probleme, die antwoorde word regs gegee:
(3−4i)−(−1+2i)((3−4i)×(−1+2i)3−4i2i3−4i2−3ii
Antwoorde:
4−6i5+10i−2−32i18+i13
Slide 6
Magte van i:
i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1,i5=i ens. Om dus uit te werk wat i51 is, sal mens 51 deel met 4 en kyk wat die res is:
51÷4=12res3 en i3=−i, dus i51=−i.Grafiese optel van komplekse getalle:
Mens trek die twee getalle, maak 'n parallelogram, en die hoeklyn (vanuit die oorsprong) gee die antwoord.
Regs is 'n voorstelling van z1=2−3i + z2=−3+i
Wat natuurlik gelyk is aan −1−2i wat by punt D afgelees kan word.
Doen nou Oefening1 Komplekse getalle
1. Skryf die volgende in terme van i :
1.1 √−25 1.2 √−9 1.3 √−2
2. Vereenvoudig:
2.1 i102 2.2 i63
2.3 (2+6i)−(4−2i)−(5+4i) 2.4 i61.(5−2i)
2.5 (2+4i)(5−2i) 2.6 (2+5i)(2−5i)
2.7 1+3i+(3−2i) 2.8 5+2i+(7+6i)
2.9 5−7i−(2+3i) 2.10 6+3i−(6−5i)
2.11 3−2i(4+2i) 2.12 6−i(2+3i)
2.13 4+i(2−3i) 2.14 2+3i(1+4i)
2.15 (2+i)2 2.16 (5−2i)2
2.17 2i3(1−4i)2.(5−i)(5+i)
3. As a+bi=z , bepaal die waardes van a en b in die volgende:
3.1 z=−2+i 3.2 z=(7−9i)(i2−1)
Slide 8
Oefening 2
1. Vereenvoudig:
1.1 5i = -5i
1.2 −4i = 4i
1.3 5i2−i = -1+2i
1.4 4i/2+5i 1.5 \frac{2-i}{2+i} \) 1.6 \frac{2+3i}{3-2i} \)
2. Bewys dat 7+i3−i=i5.(1−2i)
3. As m=2+5i en n=5-2i , bepaal die waarde van
3.1 2m-4n 3.2 2m2 3.3 die toegevoegde van n
3.4 n(5+2i) 3.5 n2-mn 3.6 m4i
3.7 i^{22}×m 3.8 mn 3.9 nm
4. As a+bi=z , bepaal die waardes van a en b in die volgende:
4.1 z=4i 4.2 \(z= \frac{4-2i}{1-i} )