Funktionen und Ableitungen

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Erklärung zu den wichtigsten Regeln und Begriffen der Differentialrechnung
Denise Wagner
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Question Answer
Mittlere Änderungsrate Steigung der Sekante durch zwei Punkte eines Graphens
Differenzquotienten (f(x0 + h) - f(x0)) / h
Momentane Änderungsrate Änderungsrate an einem konkreten Punkt des Graphens (Steigung der Tangente entspricht der Momentanen Änderungsrate)
Was ist eine Ableitung? Der Differenzquotienten strebt zwischen den Stellen x0 und x0 + h gegen den Grenzwert h -> 0 f'(x) = lim h -> 0 (f(x0+h) - f(x0)) / h
Potenzregel Für f(x) = x^n, n ∈ ℕ, gilt: f'(x) = n*x^(n - 1)
Faktorregel Für f(x) = r*g(x), r ∈ ℝ, gilt: f'(x) = r*g'(x)
Summenregel Für f(x) = k(x) + h(x) gilt: f'(x) = k'(x) + h'(x)
Produktregel Für y=u*v gilt: y'=u'v + u*v'
Quotientenregel Für y = u / v, (v ≠ 0) gilt: y' = (u'v - uv') / v^2
Kettenregel Für f(x) = u(v(x)) gilt: f'(x) = u'(v(x)) * v'(x) ("Äußere Ableitung mal Innere Ableitung")
Nullstelle Punkte, wo die Funktion die x-Achse schneidet.
Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) Lokale Maxima bzw. Minima, wo die notwendige Bedingung f'(x) = 0 erfüllt ist. (Keine Steigung an dieser Stelle)
Wendepunkte Punkte, wo ein Vorzeichenwechsel der Steigung stattfindet.
Sattelpunkt Erfüllt die notwendige Bedinung f'(x) = 0, allerdings nicht das VZW-Kriterium
Notwendige Bedingung f'(x) = 0 (für Extremwert Bestimmung) f''(x) = 0 (für Wendepunkt Bestimmung)
Hinreichende Bedingung f'(x) = 0 ∧ f''(x) ≠ 0 (für Extremwert Bestimmung) f''(x) = 0 ∧ f'''(x) ≠ 0 (für Wendepunkt Bestimmung)
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