Differentialrechnung

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Was ist der Differenzenquotient einer Funktion?	Dieser gibt die Steigung der Sekante an der Stelle x0 zu einem anderen Kurvenpunkt an. \[\frac{\Delta y}{\Delta x}\]
Wie lautet die Formel zur Berechnung des Differenzenquotients?	\[\frac{\Delta y}{\Delta x}\] Differenz der Funktionswerte geteilt durch Differenz der Eingangswerte
Wann heißt eine Funktion differenzierbar an der Stelle \(x_0\) ?	Wenn \(x_0\) Teil der Definitionsmenge \(D_f\) ist und der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert. \(\lim_{x \to \\x_0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
Wie nennt man den Grenzwert: \(\lim_{x \to \\x_0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\)?	Ableitung der Funktion ... an der Stelle \(x_0\)
Was ist eine sog. Tangente an den Graphen einer Funktion im Punkt \(P_0\)	Eine Gerade durch den Punkt \(P_0\) = ( \(x_0\) \| f( \(x_0\))) mit der Steigung f´( \(x_0\) )
Wann heißt eine Funktion linksseitig differenzierbar an der Stelle \(x_0\)?	Wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten mit \(\Delta x < 0 \) existiert: \(\lim_{x \to \\x_0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
Wann heißt eine Funktion rechtsseitig differenzierbar an der Stelle \(x_0\)?	Wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten mit \(\Delta x > 0 \) existiert: \(\lim_{x \to \\x_0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
Wann ist eine Funktion an der Stelle \(x_0\) differenzierbar?	Wenn die rechts- und linksseitige Ableitung gleich sind. \(f'_r (x_0)\) =\( f'_l (x_0) \)
Ist eine Funktion an der Stelle \(x_0\) differenzierbar, so ist sie dort auch . . . . ?	stetig
Wann heißt eine Funktion differenzierbar über einem offenen Intervall (a , b) ?	Wenn sie für alle x \(\epsilon\) (a, b) differenzierbar ist.
Wann heißt eine Funktion differenzierbar über einem abgeschlossenem Interval [a , b] ?	Wenn sie für alle x \(\epsilon\) (a, b) differenzierbar ist und die einseitigen Ableitungen: \(f'_r (a) \) und \( f'_l (b) \) existieren.
Wie heißt die zur Funktion f im Differenzierbarkeitsbereich \(D_{f'}\) definierte Funktion f' = f'(x) , x \(\epsilon\) \(D_{f'}\) ?	Ableitungsfunktion von f
Wie lässt sich die Ableitung f'(x) noch schreiben (Differentialquotient) ?	\(\frac{\ d f(x)}{\ dx}\) = \(\frac{\ dy }{\ dx}\) sprich: dy nach dx
Ist eine Funktion f an einer Stelle \(x_0\) differenzierbar, so heißt die Zahl m \(\epsilon\) R mit m = f '(\(x_0\)) . . . ?	Steigung im Punkt P (\(x_0\), f '(\(x_0\)) )
Was ist der Differenzierbarkeitsbereich \(D_{f'}\) ?	Die Menge aller x-Werte aus \(D_{f}\) an denen f differenzierbar ist.
Wann ist eine Funktion stetig differenzierbar?	Wenn ihre Ableitung für den gesamten Differenzierbarkeitsbereich \(D_{f'}\) stetig ist.
Wie lautet die Summenregel zum Ableiten?	Die Ableitung einer Summe ist gleich die Summe der Ableitungen: wenn: h = f + g dann: h' = f ' + g '
Wie lautet die Faktorregel zum Ableiten?	Die Ableitung einer Funktion f mal einen konstanten Faktor c ist gleich die Ableitung von f mal c. g = c * f \(\implies\) g` = c * f`
Wie lautet die Produktregel zum Ableiten?	Ableitung der ersten Fkt. mal die zweite Funktion + Ableitung der zweiten Fkt. mal die erste Fkt. für h = f * g gilt: h' = f`* g + g`*f
Wie lautet die Quotientenregel zum Ableiten?	Ableitung der 1. Fkt. mal die 2. Fkt. minus die Ableitung der 2. Fkt. mal die 1. Fkt. geteilt durch Quadrat der 2. Fkt. \(\frac{f`g - g`f}{g²}\)
Wie lautet die Grundregel zum Ableiten einer Potenz? f(x) = \(x^r\)	erst Exponent "nach vorn ziehen" und dann Exponent um 1 verringern. f`(x) = r * \(x^{r-1}\)
Wie lautet die Ableitung des Kehrwertes einer Fkt. ? h(x) = \(\frac{1}{f(x)}\)	Ableitung der Funktion geteilt durch das Quadrat der Funktion. h`(x) = \(\frac{f`(x)}{f(x)^2}\)
Wie lautet die Kettenregel zum Ableiten? für: h(x) = g (f(x))	Innere Ableitung * äußere Ableitung h`(x) = f`(x) * g`(z)
Inwieweit sind Polynome ganz rationale Funktionen differenzierbar?	Sind alle differenzierbar über ganz R
Inwieweit sind gebrochen rationale Funktionen differenzierbar?	gebrochen rationale Fkt. sind differenzierbar über ihren Definitionsbereich
Wann heißt eine Funktion n-mal differenzierbar?	Wenn die Ableitungen: f`(x), f ''(x), . . . \(f_n\)(x) existieren.
Wenn die Funktion f an der Stelle \(x_0\) ein Extremum besitzt, dann ist die Ableitung von f ' (\(x_0\)) = ?	Dann ist die Ableitung an dieser Stelle gleich 0. f ' (\(x_0\)) = 0
Wann ist eine Funktion f monoton steigend für das abgeschlossene Intervall [a, b] ?	Wenn sie über dieses Intervall differenzierbar ist und die Ableitung dort größer gleich 0 ist. f '(x) >= 0
Wann ist eine Fkt. f monoton fallend über ein abgeschl. Intervall [a, b]?	f differenzierbar über [a, b] und f '(x) =< 0
Wie lautet das hinreichende Kriterium für ein lokales Maximum?	Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von + nach -
Wie lautet das hinreichende Kriterium für ein lokales Minimum?	Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von - nach +
In welche Richtung ist ein konkaver Funktionsgraph gekrümmt?	rechtsgekrümmt (im Uhrzeigersinn)
In welche Richtung ist ein konvexer Graph gekrümmt?	linksgekrümmt, also gegen den Uhrzeigersinn
Was bedeutet eine monoton steigende Ableitung für das Krümmungsverhalten einer Funktion?	Die Funktion ist dort linksgekrümmt (konvex)
Was bedeutet eine monoton fallende Ableitung für das Krümmungsverhalten einer Funktion?	Die Funktion ist dort rechtsgekrümmt (konkav)
Welche Werte sollte die zweite Ableitung für einen konvexen (linksgekrümmten) Graphen annehmen?	f ''(x) >= 0
Welche Werte sollte die zweite Ableitung für einen konkaven (rechtsgekrümmten) Graphen annehmen?	f ''(x) =< 0
Wie heißt die Stelle an der eine Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert?	Wendestelle.
Welchen Wert hat die zweite Ableitung an einer Wendestelle?	f ''(x) = 0
Was ist eine Sattelstelle bzw. ein Sattelpunkt bei einer Funktion?	Ein Spezialfall einer Wendestelle. Ein horizontaler Wendepunkt, dort ist f '(x) = 0 und f ''(x) = 0.
Wann liegt bei einer Funktion an einer Stelle \(x_w\) eine Wendestelle vor?	- Fkt. dort dreimal differenzierbar - f ''(\(x_w\)) = 0 - f '''(\(x_w) \neq 0\)
Was gehört zu einer Kurvendiskussion?	- Bestimmen von Df u. Df' - Untersuchung der Fkt. an ihren Rändern - Bestimmung von Null-, Extrem- und Wendestellen - Untersuchung von Monotonie u. Krümmungsverhalten - Zeichnen des Graphen
Wie lassen sich Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken vom Typ \(\frac{0}{0}\) oder \(\frac{\infty}{\infty}\) bestimmen?	mit der Regel von L'Hospital
Wie bestimmt man den Grenzwert der Funktion f(x) = \(\frac{x}{sin(x)}\) für x gegen 0 ?	mit der Regel von L'Hospital
Wie lautet die Regel von L'Hospital?	unter bestimmten Voraussetzungen ist: \(\lim_{x \to \\x_0} \frac{f(x)}{g(x)}\) = \(\lim_{x \to \\x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)
Welche Voraussetzungen müssen gelten, um die Regel von l'Hospital anwenden zu können?	- f und g an der Stelle differenzierbar - g' in der Umgebung der Stelle ungleich 0 - \(\lim_{x \to \\x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) exisitert als endlicher oder uneigentlicher Grenzwert
Wie lassen sich Grenzwerte für unbestimmte Ausdrücke vom Typ 0 * \(\infty\) bestimmen?	indem das Produkt in einen Bruch transformiert wird, und danach die Regel von l'Hospital angewendet werden kann: \(f(x) * g(x) = \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\)

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