WS Wahrscheinlichkeit

Question	Answer
Merkmalsausprägungen	Werte, die ein Merkmal annehmen kann in Kleinbuchstaben; Merkmale in Großbuchstaben
Zufallsvariable	Ausprägungen sind Realisierungen
diskretes und stetiges Merkmal	diskret = endlich viele Ausprägungen stetig = Ausprägungen in Intervallen auch alle Zwischenwerte
Nominalskala	Namen und Kategorien, nur auszählen
Ordinal- oder Rangskala	Intervalle möglich (zB Schulnoten), Abstände nicht direkt vergleichbar, auszählen und ordnen
Kardinalskale oder metrische	Abstände interpretierbar; Mit Nullpunkt Verhältnisskala oder Rationalskala (Quotient sinnvoll); sonst Intervallskala (zB Grad, keine Quotientenbildung)
Absolutskala	natürlicher Nullpunkt und natürliche Einheit
Qualitiative Merkmale	geordnet (zB Hotelkategorie)/ungeordnet
Quantitatives Merkmal	Zahlen
manifeste Variablen	direkt beobachtbar
diskretes Merkmal	Häufigkeit zählbar, dividierbar; bei Aufsummation bis Schwellenwert = kumulative Häufigkeitsverteilung =Treppenfunktion
stetige Merkmale	zu Klassen zusammenfassbar
univariate Datenanalyse	Urliste für einziges Merkmal
gruppierte/klassierte Daten	Merkmale werden in Teilintervalle eingeteilt (z.B. 50-100 Euro oder so)
absolute Häufigkeit	hängen von Länge n der Urliste ab
empirische Häufigkeitsverteilung	Verteilung für Merkmal X
Histogramm	Klassenbesetzungshäufigkeiten sind zu den Flächen der Rechtecke proportional, unterschiedliche Breiten; optischer Eindruck kann täuschen (Alternative der Kerndichtenschätzung)
absolute kumulierte Häufigkeitsverteilung	Wert X; Beobachtungen die den Wert von X nicht überschreitet; bei kleiner als a1 = 0, bei a1=x=a1 usw.
relativ kumulierte Häufigkeitsverteilung	kumulierte Häufigkeitsverteilung/Umfang n des Datensatzes Funktionen s.S.54 (empirische Verteilungsfunktion)
Konkretisierung	Angabe des Differenzierungs/Variabilitätsgrades; Indikatoren werden zu Variablen; Messvorschrift, Merkmale von Untersuchungsobjekten (z.B. Einwohnerzahl in Dorf)
Messvorschrift	Regeln die abstrakte gedankliche Konzepte an konkreten empirischen Objekten feststellen
Standardisierte Forschung	Gewinnung von Daten (Messwerte anhand denen Objekt unmittelbar verglichen/ausgewertet werden können)
objektiv	ausschließlich vom zu messenden Objekt abhängig
standardisieren	in jeder Erhebungssituation gleich vorgehen
qualitative Forschung	breite Informationssammlung aus verschiedenen Perspektiven; situationsflexible Anwendung der Instrumente, dann semantische Interpretation
Methode/Verfahren	definierter Anfangszustand zu definiertem Endzustand (dieser ist unabhängig von der Methode)
Modell	Abbildung einer definierten Ausgangsstruktur unter bestimmten Gesichtspunkten (z.B. Stadtplan); für ganz bestimmte Fragestellungen; Ergebnis ist modellabhängig
Begriff	linguistisches Zeichen und zugehörige semantische Regeln
semantische Regeln	implizit/explizit extensional (alles wird aufgezählt)/intensional (gemeinsame Eigenschaften werden aufgezählt)
klassifikatorische Begriffe	exhaustiv (Nicht-X und X), Zerlegung des Objektbereiches in Teilklassen; paarweise exklusiv
komparative Begriffe	nicht nur Klassifikation der Objektmenge der Teilklassen sondern auch deren Rangordnung
Metrische Begriffe	Abstände angebbar; Maßeinheit
strukturtreues Messen	Struktur der empirischen Objekte muss in der Menge der zugeordneten Symbole erhalten bleiben
Menge	Gesamtheit gleichartiger Individuen, an denen Merkmale beobachtet werden. Individuum =Element der Menge
Messen	Unbekanntes wird mit normiertem Bekanntem verglichen (z.B. Gewichtsvergleich) ; Zahlen bedeuten Eigenschaften; Zuweisung von Ziffern zu Merkmalen der Objekten oder Ereignissen nach Regeln = symbolische Abbildung der empirischen Merkmalsausprägung
axiomatische Messtheorie	Axiome (Sätze innerhalb der Theorie)= Ableitung Einzelanforderungen
Nominalskala I	Gleichheit/Ungleichheit; Kurzbezeichnungen
Ordinalskala I	Gleichheit/Ungleichheit größer/kleiner
Intervallskala I	Gleichheit/Ungleichheit größer/kleiner Abstand interpretierbar (z.B. Temperatur)
Ratioskala I	Nullpunkt; sonst s.o.
Variable	Zeichen für ein anderes Zeichen; allgemeine, theoretische Begriffe; Merkmal das mehrere Ausprägungen annehmen kann; Resultat der Operationalisierung = Begriff + min. 2 Ausprägungen
Konstanten	nur eine mögliche Merkmalsausprägung
Ausprägungen	hängen von Differenziertheit der begrifflichen Strukturierung und Datengewinnungsmethode ab; Differenziertheit der Fragestellung
Daten	protokollierte Eintragungen/Registrierung in standardisierter Form/symbolische Repräsentation der Merkmale formale Stuktur: UE werden in Variablen gemessen; Variablen in Variablenwerten (-ausprägungen)
Datenmatrix	Messwerte werden in festgelegter Reihenfolge notiert = Datenvektor für jede UE UE = ganze Zeile; Variable = fester Punkt in Zeile Kombinationen: UE x X
Datensammlung	Vergleichbarkeit (gleich, empirisch sinnvoll, Vergleich innerhalb Merkmalsdimension) Klassifizierbarkeit ( für ein Paar genau ein Wert) Vollständigkeit (keine Zelle der Matrix darf leer bleiben; Werte müssen empirisch bestimmt werden)
Relation	Beziehung zwischen Elementen von Mengen; Vorschrift mit der Element x Element y zugeordnet wird
symmetrische Relation	stimmt mit Umkehrrelation überein (Vertauschung der Elemente)
asymmetrische Relation	nicht umkehrbar
(irr)reflexive Relation	kann aus 2 gleichen Komponenten bestehen, ohne falsch zu sein (z.B. x mag x); irreflexiv: x mag y
(in) transitiv	aus x und y folgt z ( intransitiv bei Vaterverhältnissen z.B.)
Äqualenzrelation	symmetrisch, reflexiv, transitiv
Ordnungsrelation	irreflexiv, asymmetrisch, transitiv
Morphismen	Struktur mit beiden Mengen verträglich = strukturverträgliche Abbildung (Struktur = Relation ist über Menge der Objekte definiert)
Isomorphismus	Abbildung gilt in beide Richtungen
Homomorphismus	Abbildung nur in eine Richtung
Skala	empirisches relationales System, numerisches relationales System, Morphismus
Skala: Erfüllung empirisches Relativ	hängt ab von Operationalisierung
Repräsentationsproblem	Existiert zu einem emp. relationalen System ein numerisches und ein Morphismus?
Eindeutigkeitsproblem	Einheit der Messung ; mathematische Transformationen (Skala invariant, abh. vom Messniveau) möglich; wie viele verschiedene Morphismen existieren damit Skala noch ursprünglichen Sinn hat?
Nominalskala II	Objektmenge wird durch Äquivalenzrelation; nur Namen Reflexivität, Symmetrie, Transitivität invariant ggü einendeutigen Transformationen
Ordinalskala II	Rangordnung; Äquivalenzrelatio, Transitivität, Trichotomie invariant ggü monotonen Transformationen
Intervallskala II	definiert Abstände bei der Rangordnung; elementare Rechenoperationen, keinen sinnvollen Nullpunkt; invariant ggü affinen Transformationen
Ratio oder Verhältnisskala II	Nullpunkt (keine Transformation), alle Rechenoperationen, Aussage über Verhältnisse/Quotient/Vielfaches der Messwerte; invariant ggü Ähnlichkeitstransformationen
Absolutskala II	Maßeinheiten vorgegeben, keine Transformationen, z.B. Abzählungen
fundamentales oder direktes Messen	Ergeben sich direkt aus Eigenschaften des Objektes
abgeleitetes oder indirektes Messen	Anwendung einer theoretisch definierten Zuordnungsregel, die aus direkt gemessenen Eigenschaften den Gesuchten rausfiltert
Rangordnungsverfahren	Begründung der Skala in der Messvorschrift selbst (Likert, Thurstone, Rasch), Transformationsentscheidung schwierig
Indexmessung	Zuordnung von Zahlen zu einer Eigenschaft von Objekten, sodass Funktionswert entsteht
Messung durch Indices	Erst die Messung konstruiert die empirische Struktur; existierende empirische Struktur wird durch Messwerte abgebildet;
generalisiertes Messinstrument	alle Sachverhalte können Gegenstand der Erhebung mit der Methode sein
Befragung	am Befragten (Antworten als Indikatoren, durch Interviewer interpretiert) durch den Befragten (Informantenrolle, Auskünfte über Merkmale, der Befragte übernimmt die messende Funktion Vorraussetzungen S. 338 (Alles eindeutig definiert
Evaluation	Qualitätsmerkmal eindeutig definiert; Vergleichsstandard; gleiche Anwendung und Interpretation
Reliabilität	Zuverlässigkeit; zeigt es Merkmal eindeutig an? Abwesenheit von systematischen und unsystematischen Fehlern, auch bei Ungültigkeit möglich; notwendige aber keine hinreichende Bedingung für Validität
Stabilität	Intertemporal; Intersubjektiv (Objektivität); Interinstrumentell
Qualitative Datenerhebung	Subjektivität gewünscht Dialog mit Empirie tiefgründige Auseinandersetzung mit Situation Genese und Analyse verschmilzt Achten aber auch identische Kontextbedingungen Weiterentwicklung während Studie
Modus/Modalwert	Merkmalsausprägung mit der größten Häufigkeit
Median	Zentralwert, min. bei mindestens Ordinalskaliert n+1/2 = n ungerade 0,5 (n/2 + n/2+1) = n gerade
Mittelwert	nur bei metrischen Skalen, empfindlich ggü extremen Werten (Sensitivität), niedrige Robustheit; Summe der quadrierten Abweichungen; gewichtet, getrimmt, geometrisch
Datensatz	empirische Verteilung eines Merkmals
Spannweite R	Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert
Varianz	Mittelwert aus Quadrant der Abweichung xi-xstrich 1/n x Summe (xi-xstrich)2
Standardabweichung	Wurzel aus: 1/n x Summe (xi-xstrich)2 auch: n/n-1 (Korrigiert für Schätzen und Testen)
z-Transformation	bei unterschiedlichen Grundgesamtheiten/Messinstrumente: Von jedem Datensatz wird der Mittelwert abgezogen; Differenz durch Standardabweichung dividieren = Mittelwert 0, Standardabweichung 1, neue Datensätze
p Quantil	metrisch oder ordinalskaliert; p x 100 der Elemente kleiner oder gleich und min. 1-p x 100 größer oder gleich xp x (np + 1) = nicht ganzzahlig 0.5 (x + x np +1) = ganzzahlig 0,5/0,75/0,25
Quartilabstand	x0,75 - x0,25
asymmetrische Verteilung	1. linkssteil/rechtsschief 2. rechtssteil/linksschief
Boxplot	Extremwerte, x0,25/x0,75/x0,5
empirische Unabhängigkeit	kein Zusammenhang (Hij - Hij_)2/ Hij_ (quadrierte Differenzen)
X2 -Koeffizient	Summe k und m (Hij - Hij_)2/ Hij_ ; Zusammenhangsmaß für 2 nominalskalierte Merkmale; 0 wenn unabhängig Ausprägung = n(M-1)
Phi Koeffizient	= Wurzel aus: x2/n Ausprägung: Wurzel aus M-1 hängt nicht mehr von n ab aber noch von Dimension
Cramers V	Wurzel aus x2/x2 max = Wurzel aus x2/ n(M-1) Werte zwischen 0 und 1
4-Feldertafel	x2= n(h11h22-h12h21)2/ h1h2h1h2 phi = h11h22 - h12h21/ Wurzel h1h2h1h2
Metrische Merkmale	Abstände interpretierbar
Kovarianz	1/n x Summe n (xi-x_)(yi -y_) empirisch 1/n x Summe n xiyi - x_y_= xy_x_y_
Produktterm Pi	(xi-x_)(yi -y_)
Koordinatensystem	1.3. Quadrant positiv 2.4. Quadrant negativ Gerade durch x_y_ nicht negativ
Korrelationskoeffizient	Sxy (emp. Kovarianz)/ SxSy (Standardabweichung) zwischen -1 und 1 xy_ - x_y_/Wurzel x2_-x_ 2 x Wurzel y2_ - y_2 zeigt nur linearen Zusammenhang an, keine Richtungsangabe 3. Merkmal Z = Scheinkorrelation
_	Mittelwerte
Ordinalskalierte Merkmale	r nicht anwendbar rg(xi); rg(yi)
Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman	s. 125 Formeln zwischen -1 und 1 nur linearer Zusammenhang zwischen Merkmalsplätzen gleichsinnig/gegensinnig monotoner Zusammenhang geringe Empfindlichkeit ggü extremen Merkmalswerten
Rsp wenn kein Rang mehrfach besetzt ist	1- 6 x Summe n di2/ n(n2-1)
Trägermenge	Zufallsvariable X, die k Werte x1, x2 annehmen mit Eintrittswahrscheinlichkeit p1, p2
Wahrscheinlichkeitsfunktion	Funktion f die Ausprägung xi Eintrittswahrscheinlichkeit pi zuordnet, wird Null gesetzt, nur nicht-negative Werte
Verteilungsfunktion	P (X kleiner gleich x); monoton wachsende Treppenfunktion; Sprung bei x = xi
Bernoulli-Verteilung (=Null-Eins Verteilung)	Zweipunkt-Verteilung p2= 1-p Bernoulli Kette
Erwartungswert	mü = x1p1 + x2p2....
Varianz/sigma2	(x-mü)2 p1 + ... Sigma2 = E(X2) - mü2
Sigma Standardabweichung	Wurzel aus V(X)
Lineartransformation	Y=aX+b Standardisierung bei anderer Skala
Kenngrößen Bernoulli	Erwartungswert = p Varianz = E(X2) - mü2 = p-p2 = p(1-p) Quantil F(xp) = p (zw. 0 und 1)
Binominalverteilung	mü = n x p sigma2 = n x p (1-p) Wahrscheinlichkeitsfunktion/Verteilungsfunktion s. 162 Durch Aufsummieren von Werten der Wahrscheinlichkeitsfunktion ergeben sich Werte der Verteilungsfunktion (auch rückgängig
hypergeometrische Verteilung	ohne Zurücklegen mü = n x M/N sigma2 = n x M/N x (1- M/N) x N-n/N-1 kleinere Varianz Wahrscheinlichkeitsfunktion/Verteilungsfunktion S. 168

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