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Description
Flashcards by David Bratschke, updated more than 1 year ago
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Created by David Bratschke
over 7 years ago
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| Question | Answer |
| Was ist das Bild einer Abbildung f: V --> W? | die Menge der Elemente der Zielmenge W, auf die f die Menge V abbildet. |
| Wann ist eine lineare Abbildung f: V --> W surjektiv? | Wenn das Bild von f die gesamte Menge von W ist. Wenn also jedes Element "getroffen" wird. |
| Wenn V ein endlich erzeugter Vektorraum ist und f eine lineare Abbildung, dann ist das Bild (f) ... ? | ebenfalls endlich erzeugt |
| Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum mit der Basis \( v_1 .. v_n \) , und f eine lineare Abbildung von V nach W dann ist f genau dann surjektiv, wenn \( f(v_1) .. f(v_n) \) was ist..? | ein Erzeugendensystem von W |
| Was ist der Kern einer linearen Abbildung? | Die Menge aller Vektoren, welche die Abbildung auf das Nullelement abbildet. |
| Der Kern einer linearen Abbildung f: V --> W ist ein Unterraum von ...? | V |
| Wenn der Kern einer linearen Abbildung lediglich der Nullvektor ist, dann ist die Abbildung? Kern (f) = {0} ==> | f ist injektiv. |
| Was ist der Rang einer linearen Abbildung? | Die Dimension des Bildes. Rg ( f ) = Dim ( Bild ( f ) ) |
| Was ist der Defekt einer linearen Abbildung? | Die Dimension des Kerns. |
| Was besagt der Rangsatz für einen Vektorraum V und eine lineare Abbildung f: V --> W? | die Dimension von V ist gleich der Summe von Defekt und Rang von f dim(V) = Def (f) + Rg(f) |
| Wenn zwei endlich erzeugte Vektorräume die gleiche Dimension haben, dann ist die lineare Abbildung f: V --> W genau dann surjektiv, wenn sie ..? | injektiv ist. |
| Welche nütztliche Folgerung lässt sich aus dem Rangsatz ableiten? | Um zu zeigen ob eine lineare Abbildung auch ein Isomorphismus ist, muss nur noch gezeigt werden: dass f injektiv oder surjektiv ist. (und dass natürlich die Dimensionen übereinstimmen) |
| Wann sind zwei Vektorräume V und W über einen Körper K isomorph? | Wenn sie die gleiche Dimension haben. |
| Wann ist ein Vektorraum isomorph zu \( K^n\) ? | Wenn er die gleiche Dimension hat wie der VR \( K^n\) |
| Welcher Begriff wird für den Rangsatz noch verwendet und warum? | Der Dimensionssatz, weil man den Defekt und den Rang der Abbildung auch durch die Dimension ausdrücken kann. Dim (V) = Dim ( Kern (f) ) + Dim ( Bild (f) ) |
| Wie lautet der Dimensionssatz für einen Vektorraum V und eine lineare Abbildung f? | Die Dimension von V ist gleich der Summe der Dimensionen von Bild und Kern von f. Dim (V) = Dim ( Kern (f) ) + Dim ( Bild (f) ) |
| Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum, und sei f : V → W eine lineare Abbildung sowie {v1,...,vn} eine Basis von V, dann ist: f injektiv, wenn ? | f(v1),...,f(vn) eine Basis von Bild(f) ist. |
| Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum, und sei f : V → W eine lineare Abbildung sowie {v1,...,vn} eine Basis von V, dann ist: f surjektiv, wenn ? | f(v1),...,f(vn) ein Erzeugendensystem von W ist. |
| Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum, und sei f : V → W eine lineare Abbildung sowie {v1,...,vn} eine Basis von V, dann ist: f bijektiv, wenn ? | f(v1),...,f(vn) eine Basis von W. |
| Seien V, W und X endlich erzeugte K-Vektorräume, und seien f : V → W und g : W → X lineare Abbildungen. Was lässt sich dann über den Rang der Komposition (g◦f) aussagen? | Der Rang der Komposition ist sowohl kleiner gleich dem Rang von f als auch dem Rang von g. Rg (g ◦ f) ≤ Rg ( g ) und Rg ( g ◦ f ) ≤ Rg( f ). |
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