9.1 der Vektorräume linearer Abbildungen

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Was ist ein System von Basisvektoren?	Basisvektoren, bei denen es auf die Reihenfolge ankommt. Also ein geordnetes Tupel.
Wie wird die Menge aller linearen Abbildungen von zwei Vektorräumen V und W bezeichnet?	"\( Hom_K (V,W) \)" ?
Welche Eigenschaften hat die Menge "\( Hom_K (V,W) \)" ?	Diese stellt einen Vektorraum dar
Wie wird der Vektorraum der linearen Abbildungen noch genannt?	Homomorphismenraum
Was ist die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung?	Eine m x n Matrix bei der die Spaltenvektoren die Koordinatenvektoren der Basis des Bildes(f) darstellen.
Wie lässt sich eine lineare Abbildung eindeutig beschreiben, ohne die genaue Abbildungsvorschrift zu kennen?	Wenn man weiß, was die Abbildung mit den Basisvektoren macht, weiß man, was sie mit allen anderen Vektoren macht. Damit kann man sie als Matrix in Bezug auf die Basisvektoren darstellen.
Was muss / sollte für die Matrixdarstellung einer Abbildung immer mit angegeben werden?	Die Basen der Vektorräume.
Welche Eigenschaften weist die lineare Abbildung auf, die jeder linearen Abbildung eine Matrix zuordnet?	sie ist injektiv und surjektiv, also ein Isomorphismus.
Mit welchem Symbol wird die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung f : V --> W bezeichnet in Bezug auf die Basisvektoren B aus V und C aus W?	\( _C M_B\)
Wenn V und W endlich erzeugte Vektorräume sind, wie groß ist dann die Dimension des zugehörigen Homomorphismenraumes?	Dim(V) * Dim (W)
Wieviele Matrizendarstellungen einer linearen Abbildung gibt es?	So viele wie es verschiedene Basen der zugehörigen Vektorräume und Reihenfolgen der Anordnung der Basisvektoren gibt. Also unendlich viele.
Wovon ist das Aussehen der Matrixdarstellung einer linearen Abbildung abhängig?	Von den gewählten Basen und ihrer Reihenfolge.
Was erhält man, wenn man den Koordinatenvektor eines Vektors \(k_B\) aus V mit der Matrixdarstellung \( _C M_B \) multipliziert?	Den zugehörigen Koordinatenvektor des Bildes \(K_C\)
Wie stehen der Kern einer linearen Abbildung und die Lösungsmenge des zur Matrixdarstellung zugehörigen homogenen LGS in Verhältnis?	ihre Dimensionen sind gleich, und da beide Vektorräume sind, sind sie auch isomorph
Wie stehen der Rang einer linearen Abbildung und der Rang einer zugehörigen Matrixdarstellung zueinander in Verhältnis?	sie sind gleich.
Wie lässt sich der Rang einer Matrix noch bestimmen außer über den Gaußalgorithmus?	Indem man die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren bestimmt.
Was sind Spaltenrang und Zeilenrang einer Matrix?	Die Anzahl linear unabhängiger Spalten bzw. Zeilen.
Wie stehen Spaltenrang und Zeilenrang einer Matrix zueinander in Verhältnis?	sie sind gleich und auch gleich dem Rang der Matrix.
Wenn der Rang einer Matrix gleich der Anzahl der Zeilen ist, dann ist die zugehörige lineare Abbildung: a) injektiv b) surjektiv c) bijektiv ?	sujektiv.
Wie lassen sich durch Matrizen Kompositionen von linearen Abbildungen verwirklichen?	durch Matrizenmultplikation.
Von welcher Seite muss die Matrix multipliziert werden, welche bei einer Komposition zuerst ausgeführt werden soll? (Hinweis: genauso wie bei der "Kringeldarstellung" der Komposition)	von rechts.
Wenn A ein Produkt zweier Matrizen A' und A'' ist, wie stehen dann die Ränge der drei Matrizen in Relation?	Der Rang von A ist kleiner gleich dem Rang von A' und auch von A''

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