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Description
Flashcards by David Bratschke, updated more than 1 year ago
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Created by David Bratschke
over 7 years ago
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| Question | Answer |
| Was ist ein Häufungspunkt einer Menge M \( \epsilon \) R ? | eine Zahl a \( \epsilon \) R, für die es mindestens eine Folge \( (a_n) \) aus M gibt, deren Grenzwert diese Zahl a ist. |
| Wann ist eine Funktion konvergent? | wenn für jede Folge aus dem Definitionsbereich, die gegen einen Häufungspunkt a von D konvergiert, die Folge \( (f(a_n))\) konvergent ist. |
| wie lautet das Konvergenzkriterium für Funktionen kurz und formal? | f: D -> R mit: \( \lim\limits_{n \to \infty} (a_n)\) = a ==> \( \lim\limits_{n \to \infty} f(a_n) \) existiert. (a Häufungspunkt von D) |
| sei f: D -> R , die in a \( \epsilon \) D stetig ist und a ein Häufungspunkt von D, dann ist f ...? | konvergent in a |
| Sei f: D -> R und \(a_n\) und \(a'_n\) Folgen aus D , mit Grenzwert a = Häufungspunkt von D, dann folgt ..? | Dass auch die Grenzwerte der Funktionswerte der Folgen gleich sind. \( \lim\limits_{n \to \infty} f(a_n) \) = \( \lim\limits_{n \to \infty} f(a'_n) \) |
| Was ist der Grenzwert einer Funktion f in a? | Der Grenzwert a der Folge der Funktionswerte: \( (f(a_n)) \), wobei (\( a_n\)) eine Folge aus D \ {a} ist. |
| Wie wird der Grenzwert einer Funktion f in a formal bezeichnet? | \( \lim\limits_{ x \to a} f(x) = b \) |
| Eine Funktion ist stetig an einer Stelle a, genau dann wenn der Grenzwert ...? | \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) \) |
| Was ist eine stetige Fortsetzung einer Funktion? | Eine Funktion, die die ursprüngliche Funktion an einer ursprünglich unstetigen Stelle so ergänzt, dass die Funktion dann an dieser Stelle doch stetig ist. |
| Wann ist eine stetige Fortsetzung einer Funktion an einer unstetigen Stelle möglich? | Wenn der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert bei Annäherung an diese Stelle gleich sind. |
| Nenne ein Beispiel für eine Funktion die stetig fortgesetzt werden kann. | \( f(x) = \frac{x^2}{x} \} kann an x = 0 stetig fortgesetzt werden. |
| Wann besitzt eine Funktion f in a eine hebbare Unstetigkeit? | Wenn die Funktion z.B. durch Anpassung des Definitionsbereiches D \ {a} stetig fortgesetzt werden kann. |
| Wie lautet des Epsilon-Delta-Grenzwert-Kriterium für Funktionen? | Sei f : D → R eine Funktion und sei a ein Häufungspunkt von D \ {a}. Dann gilt: Genau dann konvergiert f in a mit lim x→a f(x) = b, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, sodass für alle x ∈ D \ {a} mit 0 < |x − a| < δ immer |f(x) − b| < ε ist. |
| Wie lautet das Cauchy'sche Konvergenzprinzip für Funktionen? | Sei f : D → R eine Funktion, und sei a ein Häufungspunkt von D. Genau dann existiert lim x→a f(x), wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 so gibt, dass für alle x, y ∈ D \ {a} mit |x − a| < δ und |y − a| < δ stets |f(x) − f(y)| < ε ist. |
| Was sind die Rechenregeln für Konvergenz von Funktionen? | eigentlich die Gleichen wie bei Folgen |
| Was ist der Grenzwert: \( \lim\limits_{x \to a } (f+g)(x) \) | \( \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} g(x) \) |
| Was ist der Grenzwert: \( \lim\limits_{x \to a} \alpha * f(x) \) ? | \( \alpha \lim\limits_{x \to a} f(x) \) |
| Was ist der Grenzwert: \( \lim\limits_{x \to a} \) f * g (x) | \( \lim\limits_{x \to a} f(x) * \lim\limits_{x \to a} g(x) \) |
| Was ist der Grenzwert: \( \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \) ? | \( \frac{\lim\limits_{x \to a} f(x) }{\lim\limits_{ x \to a} g(x)} \) , | g(x) <> 0 |
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