Flashcards
15.3 Grenzwerte von Funktionen
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- 1Was ist ein Häufungspunkt einer Menge M \( \epsilon \) R ?eine Zahl a \( \epsilon \) R,
für die es mindestens eine Folge
\( (a_n) \) aus M gibt, deren Grenzwert diese Zahl a ist. - 2Wann ist eine Funktion konvergent?wenn für jede Folge aus dem Definitionsbereich, die gegen einen Häufungspunkt a von D konvergiert, die Folge \( (f(a_n))\) konvergent ist.
- 3wie lautet das Konvergenzkriterium für Funktionen kurz und formal?f: D -> R mit:
\( \lim\limits_{n \to \infty} (a_n)\) = a
==> \( \lim\limits_{n \to \infty} f(a_n) \) existiert.
(a Häufungspunkt von D) - 4sei f: D -> R , die in a \( \epsilon \) D stetig ist und a ein Häufungspunkt von D, dann ist f ...?konvergent in a
- 5Sei f: D -> R und \(a_n\) und \(a'_n\) Folgen aus D , mit Grenzwert a = Häufungspunkt von D, dann folgt ..?Dass auch die Grenzwerte der Funktionswerte der Folgen gleich sind.
\( \lim\limits_{n \to \infty} f(a_n) \) =
\( \lim\limits_{n \to \infty} f(a'_n) \) - 6Was ist der Grenzwert einer Funktion f in a?Der Grenzwert a der Folge der Funktionswerte:
\( (f(a_n)) \), wobei
(\( a_n\)) eine Folge aus D \ {a} ist. - 7Wie wird der Grenzwert einer Funktion f in a formal bezeichnet?\( \lim\limits_{ x \to a} f(x) = b \)
- 8Eine Funktion ist stetig an einer Stelle a, genau dann wenn der Grenzwert ...?\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) \)
- 9Was ist eine stetige Fortsetzung einer Funktion?Eine Funktion, die die ursprüngliche Funktion an einer ursprünglich unstetigen Stelle so ergänzt, dass die Funktion dann an dieser Stelle doch stetig ist.
- 10Wann ist eine stetige Fortsetzung einer Funktion an einer unstetigen Stelle möglich?Wenn der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert bei Annäherung an diese Stelle gleich sind.
- 11Nenne ein Beispiel für eine Funktion die stetig fortgesetzt werden kann.\( f(x) = \frac{x^2}{x} \}
kann an x = 0 stetig fortgesetzt werden. - 12Wann besitzt eine Funktion f in a eine hebbare Unstetigkeit?Wenn die Funktion z.B. durch Anpassung des Definitionsbereiches D \ {a} stetig fortgesetzt werden kann.
- 13Wie lautet des Epsilon-Delta-Grenzwert-Kriterium für Funktionen?Sei f : D → R eine Funktion und sei a ein Häufungspunkt von D \ {a}. Dann gilt:
Genau dann konvergiert f in a mit lim x→a
f(x) = b, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0
gibt, sodass für alle x ∈ D \ {a} mit
0 < |x − a| < δ immer |f(x) − b| < ε ist. - 14Wie lautet das Cauchy'sche Konvergenzprinzip für Funktionen?Sei f : D → R eine Funktion, und sei a ein Häufungspunkt von D.
Genau dann existiert lim x→a
f(x), wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 so gibt, dass für
alle x, y ∈ D \ {a} mit |x − a| < δ und |y − a| < δ stets
|f(x) − f(y)| < ε ist. - 15Was sind die Rechenregeln für Konvergenz von Funktionen?eigentlich die Gleichen wie bei Folgen
- 16Was ist der Grenzwert: \( \lim\limits_{x \to a } (f+g)(x) \)\( \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} g(x) \)
- 17Was ist der Grenzwert: \( \lim\limits_{x \to a} \alpha * f(x) \) ?\( \alpha \lim\limits_{x \to a} f(x) \)
- 18Was ist der Grenzwert: \( \lim\limits_{x \to a} \) f * g (x)\( \lim\limits_{x \to a} f(x) * \lim\limits_{x \to a} g(x) \)
- 19Was ist der Grenzwert: \( \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \) ?\( \frac{\lim\limits_{x \to a} f(x) }{\lim\limits_{ x \to a} g(x)} \)
, | g(x) <> 0
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- Mathematik (Grundlagen KE 5) Flashcards on 15.3 Grenzwerte von Funktionen, created by David Bratschke on 05/06/2017.
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- David Bratschke
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