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Description
Flashcards by David Bratschke, updated more than 1 year ago
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Created by David Bratschke
over 7 years ago
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| Question | Answer |
| Was ist das n-te Taylorpolynom einer Funktion? | Ein Polynom n-ten Grades, welche die Funktion an einer Stelle Näherungsweise darstellt. Also Die Polynomfunktion: \( P_{n,a}(x) = a_0 + a_1(x − a)^1 + · · · + a_n(x − a)^n \) |
| Warum werden die k-ten Ableitungen zur Näherung einer Funktion mit Taykorpolynomen benötigt? | Weil man nach Polynomen sucht, deren k-te Ableitung (Steigung) am Entwicklungspunkt gleich der Ableitung der Funktion an der Entwicklungsstelle sind. |
| Wie lautet die Formel zur Bestimmung des k-ten Koeffizienten des Taylorpolynoms an der Stelle a? | Die k-te Ableitung von f an der Stelle a geteilt durch k Fakultät. \( \frac{f^{(k)} (a)}{k!} \) |
| Woher kommt die Fakultät im Nenner der Formel zur Berechnung des k-ten Koeffizienten \( a_k \) eines Taylorpolynoms? | Durch das Hintereinander-Ableiten. Da die Exponenten jedes polynomialen Terms dabei nach vorn kommen.. |
| Gib den ersten drei Taylorpolynomen möglichst sinnvolle Namen! | Annäherung der Funktion durch: 1. Eine Gerade 2. Eine Parabel 3. eine kubische Parabel |
| Was ist das sogenannte Restglied einer Funktion? | Die Funktion, bzw. der "Rest" der übrig bleibt, wenn man eine Funktion durch ein Taylorpolynom annähert. \( f(x) = P_{n,a}(x) + R_{n,a}(x) \) |
| Welche formale Kurzschreibweise wird i.d.R. für das n-te Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle a verwendet? | \( P_{n,a}(x) \) |
| Wozu dient der Satz von Taylor? | Zur Abschätzung des Restgliedes bei der Approximation einer Funktion mit Taylorpolynomen. |
| Was besagt der Satz von Taylor? | Das Restglied einer auf [a,x] def. Funktion mit: \( f(x) = P_{(n,a)} + R_{(n,a)} \) kann mit der Cauchy-Form oder der Lagrange-Form des Restgliedes abgeschätzt werden. |
| Wie lautet die Langrange-Form zur Abschätzung des Restgliedes einer Funktion? | \( \frac {f^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1} \) |
| Worin unterscheidet sich die Formel für die Lagrangeform des Restgliedes von der allgemeinen Formel für einen k-ten Koeffizienten eines Taylorpolynoms? | \( t_0 \) statt a im Zähler, die (n+1) -te Ableitung und Fakultät anstatt nur n, und es kommt ein Faktor (x-a)^{n+1} dazu. |
| Wodurch unterscheidet sich die Formel der Couchyform für das Restglied zu der Formel für einen k-ten Koeffizienten eines Taylorpolynoms? | (n+1) -te Ableitung \(t_1\) statt a im Zähler zwei zusätzliche Faktoren: (x-a) \( (x - t_1)^n \) |
| Eine Funktion, deren Ableitung nach endlich vielen Schritten 0 ist, muss eine.. ? | Polynomfunktion sein. |
| Gilt für eine stetige Funktion: \( f'(x_0) = f^n (x_0) = 0 \) und \( f^{n+1} < 0 \) bei ungeradem n, dann ist \( x_0\) ? | Eine Maximalstelle von f |
| Gilt für eine stetige Funktion: \( f'(x_0)= f^n(x_0) = 0 \) und \( f^{n+1} > 0 \) bei ungeradem n, dann ist \( x_0\) ..? | eine Minimalstelle von f |
| gilt für eine stetige Funktion f: \( f'(x_0) = f^n(x_0) = 0 \) und n ist gerade.., dann ist \(x_0\) ? | keine Extremstelle von f. |
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