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Description
Flashcards by David Bratschke, updated more than 1 year ago
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Created by David Bratschke
over 7 years ago
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| Question | Answer |
| Was ist eine Summenfunktion? | Eine Funktion f: \( K \to R \) mit K als Konvergenzintervall und f(x) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) |
| Wann und Wo sind Summenfunktionen überall stetig? | Wenn der Konvergenzradius > 0 ist, dann sind sie überall dort stetig, wo sie definiert sind. Also im gesamten Konvergenzintervall. |
| Wo sind Summenfunktionen überall differenzierbar, wenn ja, wie oft? | Dort wo sie definiert sind, also über dem ganzen Konvergenzintervall. Wenn differenzierbar, dann unendlich oft. |
| Wie lautet die k-te Ableitung einer Summenfunktion? | \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+k)(n+k-1) ...(n+1) * a_{n+k}*x^n \) |
| Ergänze: Jede Potenzreihe ist die Taylorentwicklung ihrer ...? | Summenfunktion im Entwicklungspunkt 0 |
| Was erhält man, wenn man in die allgemeine Formel zur Bestimmung der k-ten Ableitung einer Summenfunktion x=0 setzt? | Die Formel für den k-ten Koeffizienten der Taylorreihe: \(f^k(0)= (k(k-1)... 1a_k \) also: \( \frac{f^{(k)} (0) } {k!}\) |
| Was ist eine Stammfunktion F einer Funktion f? | Eine Funktion F deren Ableitung die Funktion f ist. |
| Wodurch unterscheiden sich zwei verschiedene Stammfunktionen F und G einer Funktion f? | Nur durch einen konstanten Faktor c. |
| Wo besitzt eine Summenfunktion zu einer Potenzreihe eine Stammfunktion und wie lautet diese? | Die Summenfunktion besitzt auf ihrem Konvergenzintervall K eine Stammfunktion. Diese lautet: F(x) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} \) |
| Ist die Logarithmusreihe auch für |x| < 1konvergent gegen ln (1 + x)? Wie lautete nochmal ihre Formel? | ja. \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} \) |
| Was ist die Summe der beiden Binomialkoeffizienten: \( \binom{\alpha - 1}{ n } + \binom{\alpha - 1}{n-1} \) | \( \binom{\alpha}{n} \) |
| Ist die Binomialreihe \( (1+ x)^{\alpha} \) auch konvergent für |x| < 1? Wie war nochmal ihre Formel? | ja ist sie, die Formel lautet: \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n \) |
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