20.1 Integrale

Question	Answer
Was ist eine Partition P eines Intervalls [a,b]?	Eine Partition sind endlich viele Punkte \( t_0, t_1, . . . , t_n,\) sodass gilt: a = \( t_0 < t_1 < · · · < t_n \) = b
Was sind die sogenannte Unter- und Obersumme?	Summe von Flächeninhalten von Rechtecken zur Annäherung des Flächeninhalts unterhalb des Graphen einer Funktion.
Wie berechnet sich die sog. "Untersumme"?	\( U(f,P) = \sum\limits_{i=1}^{n} m_i (t_i - t_{i-1}) \)
Was ist der Ausdruck "\(m_i\)" bei der Berechnung der Untersumme?	Das ist das Infimum der Funktionswerte von f in dem Intervall \( [t_{i-1}, t_i ] \)
Warum läuft der Summationsindex bei der Unter- und Obersumme bis n?	Das ist die Anzahl der Punkte der Partition. (Also die Einteilung des Intervalls)
Wie berechnet sich die Obersumme O(f,P) ?	\( \sum\limits_{i=1}^{n} M_i (t_i - t_{i-1}) \)
Welche Bedeutung hat der Ausdruck \(M_i\) bei der Formel zur Berechnung der Obersumme?	Das Supremum der Funktionswerte der Funktion f im Intervall: \( [t_{i-1}, t_i ] \)
Welche Annahme muss gelten, damit die Unter- bzw. Obersumme zu einer Funktion gebildet werden kann?	Die Funktion muss in dem betrachteten Intervall beschränkt sein. (Funktionswerte dürfen nicht nach \( ±\infty \) streben)
Welche Beziehung besteht zwischen Unter- und Obersumme?	U(f,P) ≤ O(f,P)
Was ist die "Verfeinerung" einer Partition P?	Ebenfalls eine Partition mit den Punkten: \({t'_0, ..., t'_m}\) für die gilt: \( {t_0, . . . , t_n}\) ⊆ \({t'_0, . . . , t'_m}\)
Ergänze: Untersummen sind nie größer als ..?	Obersummen
Wann nennt man eine Funktion integrierbar?	Wenn Obersummen und Untersummen so gebildet werden können, dass das Supremum der Untersummen gleich dem Infimum der Obersummen ist.
Was ist das Riemann-Integral auf [a,b] ?	Die Zahl, wo Obersumme und Untersumme zu einem Graphen in dem Intervall [a,b] gleich ist.
Was ist der sogenannte "Integrand"?	Die Funktion die integriert wird
Was sind die obere und untere Integrationsgrenze und wo stehen diese beim Integral?	Die Grenzen des Intervalls über welches integriert wird. untere Grenze unter dem Integralzeichen, obere Integrationsgrenze entspr. oben
Was ist die Integrationsvariable und wo steht diese beim Integralausdruck?	Die Variable nach der integriert wird. Steht hinter dem Integrand <Integrand> dx
Wann ist eine Funktion integrierbar? (epsilon-Variante)	Wenn es zu jedem \(\epsilon\) eine Partition P gibt, so dass O(f,P) - U(f,P) < \(\epsilon\)
Ergänze: Bei der Integration einer Funktion kann man das Intervall ...?	zerlegen und die einzelnen Teile integrieren.
sei a<b, dann ist: \( \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx \) = ?	\(\int_a^b f(x) dx \)
sei a<b, Wenn f auf [a,c] und auf [c,b] integrierbar ist, dann ist f ...?	auch auf [a,b] integrierbar
Wie lässt sich das folgende Integral umschreiben: \( - \int_a^b f(x) dx \)	als: \( \int_b^a f(x) dx \)
Wie lässt sich das Integral einer Funktion f auf dem Intervall [a,b] abschätzen?	durch Rechtecke oberhalb und unterhalb des Graphen: für m < f(x) < M gilt: m(b-a) ≤ \( \int_a^b f(x) dx \) ≤ M (b-a)
Ergänze: Ist eine Funktion f auf einem Intervall [a,b] integrierbar, dann ist die Stammfunktion von f auf [a,b] ?	stetig
Was ist ein unbestimmtes Integral?	Ein Integral ohne bestimmte obere Integrationsgrenze: \( \int_a^x f(t) dt \) , mit x \( \epsilon \) [a,b]
Durch welche Operationen kann man aus integrierbaren Funktionen weitere integrierbare Funktionen bilden?	Durch Addition und skalare Multiplikation
Rechenregeln der Integration: \( \int_a^b (f + g)(x) dx \)	\( \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx \)
Rechenregeln der Integration: \( \int_a^b c*f(x) dx \) = ..?	c * \( \int_a^b f(x) dx \)

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