21.1.4 formale Beweise

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Aus was besteht ein Beweis?	Aus mehreren Schritten, welche die Behauptung aus den Voraussetungen herleiten.
Was sind Kalküle in der Logik?	Die verschiedenen Beweissysteme
Was sind Prämissen?	Vorrausetzungen bzw. Grundannahmen auf die sich ein Beweis stützt
Was ist eine "Konklusion"?	Die Schlussfolgerung, die aus den Prämissen folgt.
Wann nennt man eine Formel: \( \alpha_1 \wedge \alpha_2 \wedge \alpha_n \to \beta \) ein gültiges Argument?	Wenn die Formel eine Tautologie ist, sie ist also immer richtig
Was ist eine Beweisfolge?	Eine Folge von Formeln, die entweder Prämissen sind oder Ergebnis der Anwendung der Ableitungsregeln des Beweissystems auf diese Formeln
Welche zwei Kategorien von Ableitungsregeln gibt es in der Aussagenlogik?	Äquivalenzregeln und Schlussregeln
Nenne die fünf Äquivalenzregeln die für formale Beweise angewendet werden können.	Kommutativität, Assoziativität, Implikation, de Morgan, doppelte Negation
Was besagt das Gesetz von de Morgan?	bei der Auflösung eines negierten Klammerausdrucks müssen die Formeln innerhalb negiert und \(\wedge\) und \(\vee\) vertauscht werden.
Was besagt die Äquivalenzregel der Implikation?	dass eine Implikation \(\alpha \to \beta \) ersetzt werden kann durch eine Negation und ein Oder: \( \neg\alpha \vee \beta \)
Nenne die fünf Schlussregeln in der Aussagenlogik.	modus ponens(mp), modus tollens(mt), Konjunktion(con), Simplifikation (simp), Ausdehnung(add)
Was besagt die Schlussregel modus ponens?	Wenn \( \alpha \) gilt und (\(\alpha \to \beta) \) dann gilt auch\( \beta \)
Was besagt die Schlussregel: modus tollens?	wenn α → β gilt und auch ¬β, dann gilt: \( \alpha \).
Was besagt die Schlussregel der Konjunktion?	Wenn \(\alpha\) und \(\beta\) jeweils für sich gelten, dann gilt auch: \( \alpha \wedge \beta \)
Was besagt die Schlussregel der Simplifikation?	Wenn \( \alpha \wedge \beta \) gilt, dann gelten auch: \( \alpha \) und \(\beta\) einzeln.
Was besagt die Schlussregel der Ausdehnung?	Wenn \(\alpha\) gilt, dann gilt auch: \(\alpha \vee \beta \)
Was unterscheidet die Schlussregeln von den Äquivalenzregeln?	Diese funktionieren nur in eine Richtung.
Ergänze: Die Schlussregel modus ponens besagt, dass die Implikation...?	die Wahrheit erhält.
Wie ließe sich der modus (tollendo) tollens grob ins Deutsche übersetzen?	„durch Aufheben aufhebende Schlussweise“
Wie funktioniert der Modus tollens?	Durch das Aufheben (Negieren) der zweiten Formel einer Implikation, folgt die Aufhebung(Negation) der ersten Formel der Implikation
Ergänze: Die Regel Ausdehnung besagt, dass man zu einer wahren Prämisse \(\alpha\) jede	beliebige Formel durch ein "Oder" hinzu nehmen kann.
Wann ist ein Beweissystem "korrekt"?	Jedes Argument, das man mit dem System formal beweisen kann, ist eine Tautologie, denn die einzelnen Ableitungsregeln sind tautologisch.
Wann nennt man ein Beweissystem vollständig?	wenn man jede Implikation, die tautologisch ist, auch mit Hilfe der Ableitungsregeln formal beweisen kann
Was besagt die Deduktionsregel?	α → (β → γ) ist äquivalent zu: (α ∧ β) → γ
Welchen Vorteil bietet die Deduktionsregel?	Dass man eine Formel mehr als Prämisse zur Verfügung hat, um daraus Schlüsse zu ziehen. Aus: \( α_1 ∧ · · · ∧ α_n → (β → γ) \) wird: \( α_1 ∧ · · · ∧ α_n ∧ β → \gamma \)
Welche ist die Schlussregel ist die vermutlich überzeugendste und sollte möglichst häufig verwendet werden?	der Modus ponens
Was sollte man bei der Beweisführung in der Regel aus Ausdrücken wie: ¬(α ∧ β) machen?	¬α ∨ ¬β durch Anwendung der Regel von de Morgan
Was sollte man bei der Beweisführung in der Regel aus Ausdrücken wie: α ∨ β machen?	In eine Implikation umwandeln: erst doppelte Negation \(\neg\neg\alpha\vee\beta\) anwenden, dann Implikation ¬α → β
Ergänze: Wenn die Konklusion einer zu beweisenden Formel eine Implikation: \( α_1 ∧ · · · ∧ α_n → (β → γ) \) ist , sollte man an die Anwendung....?	der Deduktionsregel denken.
Was kann mit der Aussagenlogik modelliert werden und was nicht?	Aussagenlogik eignet sich v.a. zur Modellierung von statischem Wissen. Dynamische Systeme werden normalerweise nicht mit der Aussagenlogik modelliert.
Wie werden in der Aussagenlogik deutsche Sätze übersetzt, um statisches Wissen zu repräsentieren?	Jeder Satz wird in Elementaraussagen zerlegt, denen dann unterschiedliche Großbuchstaben zugewiesen werden. Diese sind dann die Atome der Aussagenlogik.

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