Grado de Aversión al Riesgo

Preliminares

Para determinar si un agente tomador de decisiones es averso o no al riesgo, es suficiente con identificar la concavidad de la función de utilidad de Bernoulli. Sin embargo, para determinar el grado de aversión al riesgo de un agente se requiere un indicador que no cambie ante transformaciones afines.  

Aversión absoluta al Riesgo (I): Definiciones

Aversión Absoluta al Riesgo: Dada una función de utilidad de Bernoulli, que es continua creciente y diferenciable, el coeficiente de Arrow-Pratt de la aversión al riesgo es: A(x,u) = -u''(x)/u'(x) El coeficiente de aversión absoluta al riesgo no cambia con transformaciones afines. Sea la familia de funciones utilidad de Bernoulli v(x) = βu''(x); por tanto el coeficiente de aversión absoluta al riesgo es igual a  -u''(x)/u'(x), para cualquier función de esta familia incluyendo el caso  β=1 y γ=0. Mayor Aversión Absoluta al Riesgo: Sean dos agentes con funciones de utilidad de Bernoulli u1(x) y u2(x) que son continuas crecientes y diferenciables. El agente 2 tiene mayor aversión al riesgo si A(x, u1) ≤ A(x, u2) 

Aversión absoluta al Riesgo (II): Propiedades

Teorema de Pratt para la Aversión Absoluta al Riesgo: Sean dos agentes con funciones de utilidad de Bernoulli u1(.) y u2(.); entonces los siguientes enunciados son equivalentes: (1) A(x, u1) ≤ A(x, u2) , (2) Existe una función ψ(.) cóncava y creciente tal que u2(x) = ψ(u1(x)), (3) C(L, u1) ≥ C(L, u2) y P(L, u1) ≤ P(L, u2) para toda lotería L ; y (4) Sea una lotería L y un pago con certeza x0. Si E[u2(L)] ≥ u2(x0), entonces E[u1(L)] ≥ u1(x0). La anterior proposición indica varias formas para comparar el grado de aversión al riesgo entre dos agentes económicos: La propiedad (2) indica que u2(.) es "más cóncava" que u1(.). La propiedad (4) supone que ambos agentes tienen la misma riqueza, e implica que el agente 1 está más dispuesto a aceptar loterías que el agente 2.

Aversión absoluta al Riesgo (III): Riqueza

Definición de Constant Absolute Risk Aversion: La función de utilidad de Bernoulli exhibe aversión absoluta al riesgo constante si A(x, u) no depende de x. Definición de Increasing Absolute Risk Aversion: La función de utilidad de Bernoulli exhibe aversión absoluta al riesgo creciente si A(x, u) es una función creciente de x. Definición de Decreasing Absolute Risk Aversion: La función de utilidad de Bernoulli exhibe aversión absoluta al riesgo decreciente si A(x, u) es una función decreciente de x.

Aversión absoluta al Riesgo (IV): R. Decreciente

Por lo general se considera que para la mayor parte de agentes tomadores de decisiones, la función de utilidad de Bernoulli exhibe DARA. En otras palabras, los agentes están dispuestos a enfrentar un mayor riesgo a medida que su riqueza aumenta.  Sea z un aumento o disminución incierto de la riqueza y sean w1 y w2 dos niveles de riqueza tal que w1 > w2. Defina las funciones v1(z) = u(w1+z) y v2(z) = u(w2+z). Si u (.) exhibe DARA, entonces A(z, v1) < A(z, v2) Proposición, Propiedades de las funciones de Utilidad DARA: (1) La función de utilidad de Bernoulli exhibe aversión absoluta al riesgo decreciente (DARA). (2) Dados dos niveles de riqueza w1>w2, entonces v2(z) = u(w2+z). (3) Dado un nivel de riqueza w y una lotería L, entonces w-C(L, v)es decreciente en w. (4) Dados dos niveles de riqueza w1 > w2 y una lotería L, si E[v2(L)] ≥ u(w2), entonces E[v1(L)] ≥ u(w1) La proposición es una aplicación directa al teorema de Pratt. Se puede escribir proposiciones similares para CARA y IARA

Aversión relativa al Riesgo (I)

El concepto de aversión absoluta al riesgo es más útil para comparar la actitud hacia el riesgo cuando los resultados de una lotería son ganancias o pérdidas absolutas sobre la riqueza (cuando la riqueza del individuo aumenta en un monto z). Cuando los resultados de una lotería son ganancias o perdidas porcentuales sobre la riqueza se prefiere utilizar el coeficiente de aversión relativa al riesgo. Definición de Aversión Relativa al Riesgo: Dada una función de utilidad de Bernoulli que es continua creciente y diferenciable, el coeficiente de Arrow-Patt de la aversión relativa al riesgo es: R(x, u) = -x*u''(x)/u'(x), simplificando R(x, u) = x * A(x, u) Definición de Constant Relative Risk Aversion: La función de utilidad de Bernoulli exhibe aversión relativa al riesgo constante si R^a(x, u) no depende de x. Definición de Increasing Relative Risk Aversion: La función de utilidad de Bernoulli exhibe aversión relativa al riesgo creciente si R^a(x, u) es una función creciente de x. Definición de Decreasing Relative Risk Aversion: La función de utilidad de Bernoulli exhibe aversión relativa al riesgo decreciente si R^a(x, u) es una función decreciente de x. Proposición, Propiedades de las funciones de Utilidad DRRA: (1) La función de utilidad de Bernoulli exhibe aversión relativa al riesgo decreciente (DRRA). (2) Dados dos niveles de riqueza w1>w2, entonces v~2(β) = u(βw2) es una transformación cóncava de v~1(β) = u(βw1) . (3) Dado un nivel de riqueza w y una lotería L, entonces w/C(L, v~) es decreciente en w. . Se puede escribir proposiciones similares para CRRA y IRRA.