12.2.2 Folgerungen aus den Ordnungsaxiomen

Beschreibung

Mathematik (Grundlagen KE 4) Karteikarten am 12.2.2 Folgerungen aus den Ordnungsaxiomen, erstellt von David Bratschke am 19/05/2017.
David Bratschke
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David Bratschke
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Zusammenfassung der Ressource

Frage Antworten
Grundlegendes über Ungleichungen b - a > 0 ist äquivalent zu? a < b
Grundlegendes über Ungleichungen - a > 0 ist äquivalent zu? a < 0
Grundlegendes über Ungleichungen - a < 0 ist äquivalent zu? a > 0
Addition von gleichgerichteten Ungleichungen. aus a < b und c < d folgt? a + c < b + d
Dürfen gleichgerichtete Ungleichungen addiert werden? ja
Was passiert mit dem Ungleichungszeichen einer Ungleichung bei Multiplikation mit einer negativen Zahl? Das Ungleichungszeichen dreht sich um. Aus "<" wird ">" und umgekehrt.
Wie wird eine Ungleichung noch genannt? Eine Abschätzung
Wann ist a b < 0 ? Wenn einer der Faktoren positiv und der Andere negativ ist.
Wann ist a b > 0 ? Wenn entweder beide Faktoren positiv oder beide negativ sind.
Wann dürfen gleichgerichtete Ungleichungen multipliziert werden? Wenn alle Glieder positiv sind
1/b > 0 ist äquivalent zu? b > 0
aus (a / b > 0) folgt? entweder sind a und b beide größer 0 oder beide kleiner 0
Abschätzung von Brüchen: wie stehen \( \frac{p_1}{q} \) und \(\frac{p_2}{q}\) in Verhältnis wenn: \(p_1\) < \(p_2\) und q > 0 ? \( \frac{p_1}{q} < \frac {p_2}{q} \)
Abschätzung von Brüchen: Wie stehen \(\frac{p}{q_1} \) und \(\frac{p}{q_2}\) in Verhältnis, wenn gilt: 0 < \(q_1\) < \(q_2\) und p > 0 \(\frac{p}{q_1} > \frac{p}{q_2}\)
Ergänze: Einen Bruch mit positiven Zähler und Nenner kann man vergrößern, indem man ...? Den Zähler vergrößert bzw. den Nenner verkleinert (aber stets positiv hält)
Was besagt die bernoullische Ungleichung? \( ( 1+x )^n ≥ 1 + nx \) für x ≥ -1
Wozu dient die bernouillische Ungleichung? Man kann damit eine Potenz mit einer Geradengleichung abschätzen
Was ist der Betrag |a| einer reellen Zahl a? a , falls a ≥ 0 -a, falls a < 0
Welches Vorzeichen hat der Betrag einer reellen Zahl? ist immer ≥ 0 also positiv
Grundeigenschaften des Betrags: |ab| = ? |a| |b|
Ergänze: Der Betrag eines Produkts zweier Elemente a und b = ? Dem Produkt der Beträge von a und b.
Grundeigenschaften des Betrags: |a+b| ≤ ? |a| + |b|
Ergänze: Der Betrag einer Summe zweier Beträge ist kleiner gleich? der Summe der Beträge
Grundeigenschaften des Betrags: \( \frac{|a|}{|b|} = \) ? |\( \frac {a}{b} \)|
Ergänze: Der Betrag eines Bruches = ? Dem Bruch der Beträge, also Betrag von Zähler geteilt durch Betrag vom Nenner
Grundeigenschaften des Betrags: | |a| - |b| | ≤ ? ≤ |a - b| und ≤ |a + b|
Ergänze: Der Betrag einer Differenz zweier Beträge ist kleiner gleich .. ? Dem Betrag der Differenz der Elemente selbst und somit natürlich auch kleiner gleich dem Betrag der Summe der Elemente.
Was ist die Dreiecksungleichung? Die Betragsungleichung: |a+b| ≤ |a| + |b|
Wie lautet die Dreiecksungleichung allgemein formuliert? Betrag(Summe( \(a_i\) )) ≤ Summe (Betrag(\(a_i\))) \( |\sum\limits_{i=0}^{n}a_i| \leq \sum\limits_{i=0}^{n}|a_i| \)
Was ist der Abstand zweier reeller Zahlen d (a,b)? Der Betrag der Differenz von a und b: | a - b |
Wie lautet die Ungleichung des arithmetischen Mittels? (a < b) ==> a < \( \frac {a+b}{2} \) < b
Was ist das arithmetische Mittel? \( \frac {a+b}{2} \)
Was ist ein offenes Intervall (a, b)? Die Menge aller Element aus R zwischen a und b exclusive a und b. {\( x \epsilon R | a < x < b\) }
Was ist ein abgeschlossenes Intervall [a, b] Die Menge aller Element aus R zwischen a und b inklusive a und b. {\( x \epsilon R | a \leq x \leq b\) }
Was ist ein links halboffenes Intervall (a, b]? Die Menge aller Element aus R zwischen a und b ohne a, aber mit b. {\( x \epsilon R | a < x \leq b\) }
Was ist ein rechts halboffenes Intervall [a, b) ? Die Menge aller Element aus R zwischen a und b mit a, aber ohne b. {\( x \epsilon R | a \leq x < b\) }
Was sind bei einem Intervall (a, b) die Randpunkte ? a und b, egal ob abgeschlossen oder offen
Was ist die Länge eines Intervalls? Die Differenz der Randpunkte
Was ist der Mittelpunkt eines Intervalls a,b? Das arithmetische Mittel der Randpunkte, also die Summe der Randpunkte / 2 (a + b) / 2
Was ist der Radius eines Intervalls? Die Länge des Intervalls geteilt durch 2 (b-a) / 2
Was ist ein uneigentliches bzw. unendliches Intervall? Ein Intervall bei dem einer der Randpunkte unendlich ist.
Was ist eine offene \( \epsilon - \)Umgebung ? ein offenes Intervall mit Mittelpunkt: \( x_0 \) und Radius \( \epsilon \)
Was ist eine abgeschlossene \( \epsilon - \) Umgebung? Ein abgeschlossenes Intervall [a, b] mit Mittelpunkt: \( x_0 \) und Radius \( \epsilon \)
Wie wird eine offene \( \epsilon \) - Umgebung bezeichnet? \( U_{\epsilon} (x_0) \)
Wie wird eine geschlossene Epsilon-Umgebung bezeichnet? \( U_{\epsilon} [x_0] \)
Was bedeutet die folgende Gleichung? \( U_{\epsilon} (x_0) = \) { \( x \epsilon R | |x -x_0| < \epsilon \) } Das ist die Definition der offenen \( \epsilon \)-Umgebung um \(x_0\). D.h. alle reellen Zahlen, deren Abstand zu der Zahl \(x_0\) kleiner ist als der durch die \( \epsilon \)- Umgebung gegebene Abstand \( \epsilon \)
Drücke die abgeschlossene \( \epsilon \) Umgebung \( U_{\epsilon} [x_0] \) als Menge aus. { \( x \epsilon R | |x -x_0| \leq \epsilon \) }
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