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Definición: Espacio Vectorial Real:Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.
1. Notación. Si x y y están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como x 1 y y el producto escalar de a y x como ax. Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia
  1. Ejemplos
    1. El espacio Rn :Los vectores en n se pueden escribir indistintamente como vectores renglón o vectores columna.
    2. Espacio vectorial trivial Sea V 5 {0}. Es decir, V consiste sólo en el número 0. Como 0 1 0 5 1 ? 0 5 0 1 (0 1 0) 5 (0 1 0) 1 0 5 0, se ve que V es un espacio vectorial. Con frecuencia se le otorga el nombre de espacio vectorial trivial.
    3. Conjunto que no es un espacio vectorial Sea V 5 {l}. Es decir, V consiste únicamente del número 1. Éste no es un espacio vectorial ya que viola el axioma i) —el axioma de cerradura—. Para verlo con más claridad, basta con observar que 1 1 1 5 2 F V. También viola otros axiomas, sin embargo, con tan sólo demostrar que viola al menos uno de los diez axiomas queda probado que V no es un espacio vectorial. Nota. Verificar los diez axiomas puede ser laborioso. En adelante se verificarán únicamente aquellos axiomas que no son obvios.
    4. El conjunto de puntos en 2 que se encuentran en una recta que pasa por el origen constituye un espacio vectorial Sea V 5 {(x, y): y 5 mx, donde m es un número real fijo y x es un número real arbitrario}. V consiste en todos los puntos que están sobre la recta y 5 mx que pasa por el origen y tiene pendiente m. Para demostrar que V es un espacio vectorial, se puede verificar que se cumple cada uno de los axiomas. .
    5. El espacio vectorial Pn Sea V 5 Pn, el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a n.† Si p P Pn, entonces p x a x a x a x a n n n ( ) ? ? n ??? ? ? ? 1 1 1 0 donde cada ai es real.
    6. Los espacios vectoriales C[0, 1] y C[a, b] Sea V 5 C[0, 1] 5 el conjunto de funciones continuas de valores reales definidas en el intervalo [0, 1]. Se define ( f 1 g)x 5 f (x) 1 g(x) y (αf )(x) 5 α[ f (x)] Como la suma de funciones continuas es continua, el axioma i) se cumple y los otros axiomas se verifican fácilmente con 0 5 la función cero y (2f )(x) 5 2f (x). Del mismo modo, C[a, b], el conjunto de funciones de valores reales definidas y continuas en [a, b], constituye un espacio vectorial.
    7. El espacio vectorial Mnm Si V 5 Mmn denota el conjunto de matrices de m 3 n con componentes reales, entonces con la suma de matrices y multiplicación por un escalar usuales, se puede verificar que Mmn es un espacio vectorial cuyo neutro aditivo es la matriz de ceros de dimensiones m 3 n.
    8. El espacio Cn Sea V 5 Cn 5 {( c1, c2, . . . , cn): ci es un número complejo para i 5 1, 2, . . . , n} y el conjunto de escalares es el conjunto de números complejos. No es difícil verificar que Cn, también es un espacio vectorial. Como lo sugieren estos ejemplos, existen diferentes tipos de espacios vectoriales y muchas clases de conjuntos que no son espacios vectoriales. Antes de terminar esta sección, se demostrarán algunos resultados sobre los espacios vectoriales.

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