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Descripción
Fichas por leticia marcos, actualizado hace más de 1 año
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Creado por leticia marcos
hace casi 5 años
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| Pregunta | Respuesta |
| Resolucion de ecuaciones cuadráticas, usando el metodo de factorización | Introducción Cuando un polinomio es igual a cierto valor (ya sea un entero u otro polinomio) el resultado es una ecuación |
| Una ecuación que puede ser escrita de la forma ax2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática. | Podemos resolver estas ecuaciones cuadráticas usando las reglas del álgebra, aplicando técnicas de factorización donde sea necesario, y usando la Propiedad Cero de la Multiplicación. |
| La Propiedad Cero de la Multiplicación La Propiedad Cero de la Multiplicación establece (¡en términos algebraicos, por supuesto!) algo que todos siempre hemos sabido: si el producto de dos números es 0, entonces por lo menos uno de los factores es 0. | Propiedad Cero de la Multiplicación Si ab = 0, entonces ya sea a = 0 o b = 0, o ambos a y b son 0. |
| Esta propiedad puede parecer obvia, pero tiene importante implicaciones en cómo resolvemos ecuaciones cuadráticas: significa que si tenemos un polinomio factorizado igual a 0, podemos estar seguros de que al menos uno de sus factores es también 0. | Podemos usar este método para identificar soluciones de una ecuación. |
| La ecuación 5a2 + 15a = 0 es una ecuación cuadrática porque puede escribirse como 5a2 + 15a + 0 = 0, que es equivalente a la forma ax2 + bx + c = 0, con c = 0. | Ejemplo Resolver a en 5a2 + 15a = 0 |
| 5a2 + 15a = 0 El problema nos pide resolver a; empecemos por factorizar el lado izquierdo de la ecuación. | 5(a2 + 3a) = 0 5 es factor común de 5a2 y 15a. |
| 5a(a + 3) = 0 a es factor común un de a2 y 3a. | En este punto hemos factorizado completamente el lado izquierdo de la ecuación. Si sólo quisiéramos factorizar la expresión, podríamos parar aquí, pero recuerda que estamos resolviendo a de la ecuación. |
| Aquí es donde usamos la Propiedad Cero de la Multiplicación. Ya que toda la expresión es igual a cero, sabemos que por lo menos uno de los términos, 5a o (a + 3), tiene que ser igual a cero. | Vamos a continuar con la solución de este problema igualando cada término a cero y resolviendo las ecuaciones. |
| 5a = 0 a + 3 = 0 Igualar cada factor a cero a + 3 – 3 = 0 – 3 a = 0 a = -3 a = 0 o a = -3 | Resultan dos valores posibles de a: 0 y -3. (Estos valores también se llaman raíces de la ecuación.) |
| Para comprobar nuestras respuestas, podemos sustituir ambos valores directamente en nuestra ecuación original y ver si obtenemos una expresión válida para cada una. | Sustituir estos valores en la ecuación original produce dos expresiones correctas, entonces sabemos que nuestros valores son correctos. Esta ecuación cuadrática, 5a2 + 15a = 0, tiene dos raíces: 0 y -3. |
| Podemos usar el Producto Cero de la Multiplicación para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0. Primero factorizamos la expresión, y luego resolvemos cada una de las raíces. | Resolver r. r2 – 5r + 6 = 0 |
| r2 – 3r – 2r + 6 = 0 Expandir el término -5r usando dos coeficientes tales que su suma sea -5 y su producto sea 6. | (r2 – 3r) – (2r – 6) = 0 Agrupar términos |
| r(r – 3) – 2(r – 3) = 0 Sacar los factores comunes de cada grupo | (r – 3)(r – 2) = 0 Usar la Propiedad Distributiva para sacar (r – 3) como un factor |
| r – 3 = 0 r – 2 = 0 Usar la Propiedad Cero de la Multiplicación para igualar cada factor a 0 | r = 3 r = 2 Resolver la ecuación |
| Solución r = 3 o r = 2 Las raíces de la ecuación original son 3 o 2 | La solución de esta ecuación es r = 2 o r = 3, ya que ambos valores de r resultarán en una expresión válida. (¿Escéptico? Sustituye r por los valores 2 y 3 en la ecuación original |
| Cuando usamos la Propiedad Cero de la Multiplicación para resolver una ecuación cuadrática, necesitamos asegurarnos que la ecuación este igualada a cero. Algunas veces esto requerirá de mover los términos para que quede 0 en un lado de la ecuación. | Como un ejemplo, piensa en la ecuación 12x2 + 11x + 2 = 7. Podríamos factorizar el trinomio del lado izquierdo de la ecuación tal como esta, pero nos quedaría la ecuación (4x + 1)(3x + 2) = 7. |
| ¡Y es hasta aquí a donde podemos llegar! Esta nueva ecuación nos dice que los dos factores, (4x + 1) y (3x + 2), son iguales a 7 cuando son multiplicados. | Igualar cada factor a 7 y luego resolver la ecuación tampoco nos ayuda; no estamos buscando los factores que son 7; sino los factores que, cuando se multiplican, son iguales a 7. |
| Es decir, ¡no podemos usar la Propiedad Cero de la Multiplicación cuando no hay un cero en el otro lado de la ecuación! | Para tener un cero en un lado de la ecuación, debemos restar 7 de ambos lados. Esto significa que nuestra ecuación cuadrática de 12x2 + 11x + 2 = 7 se convierte 12x2 + 11x – 5 = 0. |
| Podemos factorizar el trinomio en lado izquierdo y luego usar la Propiedad Cero de la Multiplicación para encontrar los valores de x. | El ejemplo siguiente muestra cómo resolver una ecuación cuadrática donde ningún lado es originalmente igual a cero. (Nota que la secuencia de factorización ha sido acortada.) |
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