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Descripción
Mapa Mental por Julieth Mejia8340, actualizado hace más de 1 año
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Creado por Julieth Mejia8340
hace más de 8 años
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ESPACIO VECTORIAL
- DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
- CONCEPTO
- DEPENDENCIA LINEAL
- Dado un conjunto de vectores S = {v1, v2,…,
vk} en un espacio vectorial V, se dice que S
es linealmente dependiente, si la ecuación:
c1v1 + c2v2 +… + ckvk = 0 Tiene solución No
trivial. Entonces: c1, c2, c3,…, ck no todos
son cero.
- Dado un conjunto de vectores S = {v1, v2,…,
vk} en un espacio vectorial V, se dice que S
es linealmente dependiente, si la ecuación:
c1v1 + c2v2 +… + ckvk = 0 Tiene solución No
trivial. Entonces: c1, c2, c3,…, ck no todos
son cero.
- INDEPENDENCIA LINEAL
- El concepto de independencia lineal se puede ver
con el siguiente caso: Sea el vector v1 = (2, 3) y el
vector v2 = (6, 9). Se observa que v2 = 3v1 esto es
igual a: 3v1 - v2 = 0. Lo anterior nos indica que el
vector cero se puede escribir como una
combinación lineal no trivial de dos vectores v1 y
v2. No trivial hace referencia a que los
coeficientes de cada vector no son todos cero.
- Dado un conjunto de vectores S =
{v1, v2,…, vk} en un espacio vectorial
V, se dice que S es linealmente
independiente, si la ecuación: c1v1 +
c2v2 +… + ckvk = 0 Tiene solamente
la solución trivial. Entonces: c1 = c2 =
c3 =… = ck = 0
- El concepto de independencia lineal se puede ver
con el siguiente caso: Sea el vector v1 = (2, 3) y el
vector v2 = (6, 9). Se observa que v2 = 3v1 esto es
igual a: 3v1 - v2 = 0. Lo anterior nos indica que el
vector cero se puede escribir como una
combinación lineal no trivial de dos vectores v1 y
v2. No trivial hace referencia a que los
coeficientes de cada vector no son todos cero.
- DEPENDENCIA LINEAL
- TEOREMA
- Dos vectores en un espacio
vectorial V son linealmente
dependientes, si y solo si, uno
es múltiplo escalar del otro.
- Dos vectores en un espacio
vectorial V son linealmente
dependientes, si y solo si, uno
es múltiplo escalar del otro.
- CONCEPTO
- SUBESPACIO
- CONCEPTO
- Todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos
que también son espacios vectoriales en si, haciendo
una analogía, los subespacios son Espacios
Vectoriales Hijos y el Espacio Vectorial de donde se
obtuvieron son el Espacio Vectorial Padre. Entonces
los Hijos Heredan las características del padre, así los
subespacios heredan las operaciones del espacio que
los origino.
- Sea el subconjunto U no vacío
contenido en un espacio
vectorial V, asumiendo que U es
espacio vectorial en si (cumple
los 10 axiomas) Entonces se dice
que U es un subespacio de V.
Donde U ≤ V
- Todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos
que también son espacios vectoriales en si, haciendo
una analogía, los subespacios son Espacios
Vectoriales Hijos y el Espacio Vectorial de donde se
obtuvieron son el Espacio Vectorial Padre. Entonces
los Hijos Heredan las características del padre, así los
subespacios heredan las operaciones del espacio que
los origino.
- TEOREMAS
- INTERSECCION ENTRE SUBESPACIOS
- En un espacio vectorial puede
haber gran cantidad de
subespacios propios. La
situación es determinar que
sucede cuando dos o más
subespacios se interceptan en
dicho espacio.
- Sean V1 y V2 dos
subespacios del espacio
vectorial V, entonces la
intersección V1 ∩ V2
pertenecen también a
V.
- En un espacio vectorial puede
haber gran cantidad de
subespacios propios. La
situación es determinar que
sucede cuando dos o más
subespacios se interceptan en
dicho espacio.
- PRUEBA DE SUBESPACIO
- Sea U un subconjunto no vacío de un
espacio vectorial V, entonces U se
considera un subespacio de V si, y solo si,
se cumplen las siguientes propiedades de
cerradura. 1. Si u y v son vectores que
están en U, entonces u + v estará en V. 2. Si
u es vector en U y k un escalar, entonces ku
estará en U.
- Sea U un subconjunto no vacío de un
espacio vectorial V, entonces U se
considera un subespacio de V si, y solo si,
se cumplen las siguientes propiedades de
cerradura. 1. Si u y v son vectores que
están en U, entonces u + v estará en V. 2. Si
u es vector en U y k un escalar, entonces ku
estará en U.
- INTERSECCION ENTRE SUBESPACIOS
- CONCEPTO
- ESPACIO VECTORIAL
- CONCEPTO
- Sea V un conjunto no vacío de elementos llamados
vectores, sobre los que están definidas las
siguientes operaciones: 1. Suma Vectorial 2.
Multiplicación por Escalar. Por otro lado, sea u, v,
w,… elementos que están en V; además, los
escalares c, d, e,… Entonces V se le llama espacio
vectorial, si cumple los axiomas.
- Sea V un conjunto no vacío de elementos llamados
vectores, sobre los que están definidas las
siguientes operaciones: 1. Suma Vectorial 2.
Multiplicación por Escalar. Por otro lado, sea u, v,
w,… elementos que están en V; además, los
escalares c, d, e,… Entonces V se le llama espacio
vectorial, si cumple los axiomas.
- PROPIEDADES
- Axiomas de la Suma:
- 1. Si u ∈ V y v ∈ V entonces: (u + v) ∈ V Ley Clausurativa
(cerradura suma) 2. u + v = v + u Ley Conmutativa 3. u + (v
+ w) = (u + v) + w Ley asociativa 4. El vector 0 ∈ V Para todo
u ∈ V → u + 0 = u Ley Modulativa (Neutro aditivo) 5. Para
todo u ∈ V existe un vector -u ∈ V tal que u + (-u) = 0
Inverso Aditivo.
- 1. Si u ∈ V y v ∈ V entonces: (u + v) ∈ V Ley Clausurativa
(cerradura suma) 2. u + v = v + u Ley Conmutativa 3. u + (v
+ w) = (u + v) + w Ley asociativa 4. El vector 0 ∈ V Para todo
u ∈ V → u + 0 = u Ley Modulativa (Neutro aditivo) 5. Para
todo u ∈ V existe un vector -u ∈ V tal que u + (-u) = 0
Inverso Aditivo.
- Axiomas de la Multiplicación por Escalar:
- 6. Si u ∈ V y c un escalar, cv ∈ V Ley Clausurativa
(cerradura multiplicación) 7. c (u + v) = cu + cv Primera Ley
Distributiva 8. (c + d) u = cu + du Segunda Ley Distributiva
9. c (d * u) = (c * d) u Ley Asociativa 10. 1 * u = u Ley
Modulativa (Identidad escalar)
- 6. Si u ∈ V y c un escalar, cv ∈ V Ley Clausurativa
(cerradura multiplicación) 7. c (u + v) = cu + cv Primera Ley
Distributiva 8. (c + d) u = cu + du Segunda Ley Distributiva
9. c (d * u) = (c * d) u Ley Asociativa 10. 1 * u = u Ley
Modulativa (Identidad escalar)
- Axiomas de la Suma:
- EJEMPLO
- CONCEPTO
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