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Description
Mind Map by Niwo berezuka, updated more than 1 year ago
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Created by Niwo berezuka
over 9 years ago
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Ecucaciones Diferenciales
- Que son?
- Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables
dependientes, con respecto a una o más variables.
- Metodos de solucion
- Soluciones analiticas
- Para resolver analíticamente un sistema de
ecuaciones existen varios métodos. Todos ellos
permiten obtener el mismo resultado, y la utilización
de uno u otro dependerá de cómo está planteado el
sistema original.
- MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
- Se debe despejar una de las variables en una de las
ecuaciones, y luego reemplazarla en la otra ecuación.
- Se debe despejar una de las variables en una de las
ecuaciones, y luego reemplazarla en la otra ecuación.
- MÉTODO DE IGUALACIÓN
- Se debe despejar en ambas ecuaciones la misma
incógnita y luego igualar las ecuaciones obtenidas
- Se debe despejar en ambas ecuaciones la misma
incógnita y luego igualar las ecuaciones obtenidas
- MÉTODO DE REDUCCIÓN:
- consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que
obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la
y sean iguales pero con signo contrario
- consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que
obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la
y sean iguales pero con signo contrario
- MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
- Para resolver analíticamente un sistema de
ecuaciones existen varios métodos. Todos ellos
permiten obtener el mismo resultado, y la utilización
de uno u otro dependerá de cómo está planteado el
sistema original.
- soluciones numericas
- Pretenden hacer una tabla de valores para la funcion incognita y
solucion al problema. Estos metodos se aplican a problemas con
valores iniciales y producen respuestas del tipo
- Metodo de Euler
- resolver la ecuación diferencial de primer orden
- dxdt=f(t,x)
- dxdt=f(t,x)
- resolver la ecuación diferencial de primer orden
- Método de Runge-Kutta
- Una ecuación
diferencial de
primer orden
- dxdt=f(t,x)
k1=h⋅f(t,x)k2=h⋅f(t+12h,x+12k1)k3=h⋅f(t+12h,x+12k2)k4=h⋅f(t+h,x+k3)
x(t+h)=x(t)+16(k1+2k2+2k3+k4)
- dxdt=f(t,x)
k1=h⋅f(t,x)k2=h⋅f(t+12h,x+12k1)k3=h⋅f(t+12h,x+12k2)k4=h⋅f(t+h,x+k3)
x(t+h)=x(t)+16(k1+2k2+2k3+k4)
- Un sistema de dos
ecuaciones
diferenciales de
primer orden
- dxdt=f(t,x,y) dydt=g(t,x,y)
k1=h⋅f(t,x,y)k2=h⋅f(t+12h,x+12k1,y+12l1,)k3=h⋅f(t+12h,x+12k2,y+12l2)k4=h⋅f(t+h,x+k3,y+l3)
l1=h⋅g(t,x,y)l2=h⋅g(t+12h,x+12k1,y+12l1)l3=h⋅g(t+12h,x+12k2,y+12l2)l4=h⋅g(t+h,x+k3,y+l3)
x(t+h)=x(t)+16(k1+2k2+2k3+k4) y(t+h)=y(t)+16(l1+2l2+2l3+l4)
- dxdt=f(t,x,y) dydt=g(t,x,y)
k1=h⋅f(t,x,y)k2=h⋅f(t+12h,x+12k1,y+12l1,)k3=h⋅f(t+12h,x+12k2,y+12l2)k4=h⋅f(t+h,x+k3,y+l3)
l1=h⋅g(t,x,y)l2=h⋅g(t+12h,x+12k1,y+12l1)l3=h⋅g(t+12h,x+12k2,y+12l2)l4=h⋅g(t+h,x+k3,y+l3)
x(t+h)=x(t)+16(k1+2k2+2k3+k4) y(t+h)=y(t)+16(l1+2l2+2l3+l4)
- Una ecuación
difrencial de
segundo orden
- d2xdt2=f(t,x,v) con las
condiciones iniciales
x(t0)=x0 (dxdt)t0=v0
- d2xdt2=f(t,x,v) con las
condiciones iniciales
x(t0)=x0 (dxdt)t0=v0
- Un sistema de dos
ecuaciones
diferenciales de
segundo orden
- dxdt=v dvdt=f(t,x,v) k1=hvk2=h(v+12l1)k3=h(v+12l2)k4=h(v+l3)
l1=h⋅f(t,x,v)l2=h⋅f(t+12h,x+12k1,v+12l1)l3=h⋅f(t+12h,x+12k2,v+12l2)l4=h⋅f(t+h,x+k3,v+l3)
x(t+h)=x(t)+16(k1+2k2+2k3+k4) v(t+h)=v(t)+16(l1+2l2+2l3+l4)
- dxdt=v dvdt=f(t,x,v) k1=hvk2=h(v+12l1)k3=h(v+12l2)k4=h(v+l3)
l1=h⋅f(t,x,v)l2=h⋅f(t+12h,x+12k1,v+12l1)l3=h⋅f(t+12h,x+12k2,v+12l2)l4=h⋅f(t+h,x+k3,v+l3)
x(t+h)=x(t)+16(k1+2k2+2k3+k4) v(t+h)=v(t)+16(l1+2l2+2l3+l4)
- Una ecuación
diferencial de
primer orden
- Metodo de Euler
- Pretenden hacer una tabla de valores para la funcion incognita y
solucion al problema. Estos metodos se aplican a problemas con
valores iniciales y producen respuestas del tipo
- Soluciones analiticas
- Metodos de solucion
- Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables
dependientes, con respecto a una o más variables.
- Clasificacion
- parciales
- lineales
- no lineales
- lineales
- ordinarias
- no linelaes
- lineales
- no linelaes
- parciales
- Aplicaciones
- Aplicaciones a los circuitos eléctricos
- La ley de Kirchhoff
- La ley de Kirchhoff
- Aplicaciones a la mecánica:
- Las leyes del movimiento de Newton.
- Las leyes del movimiento de Newton.
- Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario.
- Aplicaciones a problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.
- La deflexión de vigas.
- Aplicaciones a los circuitos eléctricos
- Historia
- Newton (1643-1729) trabajó sobre la teoría de fluxiones, que ahora llamaríamos
ecuaciones diferenciales.
- Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) encontró el método para las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
- Euler(1 707 –1 783), Clairaut(1713 –1765), D’Alembert(1 717 –1 783), Daniel Bernoulli(1 700 –1 782), Lagrange(1 736 –1 813)
y Laplace(1 749 –1 827). Estudiaron algunos tipos de ecuaciones de orden superior y se elaboraron los cimientos para
una teoría geométrica de las ecuaciones en derivadas parciales.
- Alexis Claude Clairaut(1713 – 1765) observó que las derivadas
parciales de segundo orden cruzadas de una función son iguales y
utilizó este hecho en el familiar criterio de reconocimiento de las
ecuaciones diferenciales exactas.
- Daniel Bernoulli estudia en 1 724 valores de n para los que la Ecuación de Riccati es integrable por
separación de variables.
- Jacobi y Abel trabajaron sobre funciones elípticas
- Fourier desarrolló de forma sistemática el método de separación de variables
- David Hilbert (1 866 –1 943)Hizo un tratamiento de las formas cuadráticas infinitas, probando que toda forma cuadrática
acotada y con continuidad completa puede transformarse mediante una transformación ortogonal única. Aplicó estas
formas cuadráticas a las ecuaciones integrales.
- La teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales fue creada simultáneamente por Poincaré (1 854 –1
912) y Liapunov(1 857 –1 918
- Newton (1643-1729) trabajó sobre la teoría de fluxiones, que ahora llamaríamos
ecuaciones diferenciales.
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