Matrices.

Matrices.

1. Definición de matriz.

   • Definición.
     • Matriz de tamaño o dimensión mxn es una tabla de números reales ordenados que consta de m filas y n columnas. 
   • Elementos.
     • Los números se llaman elementos. 

2. Tipos de matrices.

   • Matriz fila.
     • Es una matriz que solo tiene una fila. 
   • Matriz columna.
     • Es una matriz que solo tiene una columna. 
   • Matriz cuadrada.
     • Es una matriz que tiene el mismo número de filas y de columnas (m=n). 
   • Matriz nula.
     • Matriz cuyos elementos son todos ceros. 
   • Matriz diagonal.
     • Matriz cuadrada cuyos elementos son todos ceros, excepto los de la diagonal principal. 
   • Matriz escalar.
     • Matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son todos iguales y distintos de cero. 
   • Matriz unidad o Identidad.
     • Es una matriz igual que la escalar donde los elementos de la diagonal principal son unos.  Esta matriz se representa con: I. 
   • Matriz triangular.
     • Matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por encima (o por debajo) de la diagonal principal son nulos.
   • Matriz simétrica.
     • Matriz cuadrada que cumple:  Aij=Aji

3. Suma de matrices.

   • Para definir la suma de dos matrices, deben tener la misma dimensión. 
   • Propiedades.
     • Asociativa.
       • A+(B+C)=(A+B)+C
     • Conmutativa.
       • A+B=B+A
     • Hay elemento neutro.
       • Esto quiere decir que hay matriz nula (algo que operado con cualquier matriz da el mismo resultado). 
     • Toda matriz A tiene su opuesta -A.
       • Se cumple que A + (-A)= N
     • Una matriz cuadrada + su traspuesta = matriz simétrica.

4. Producto de un número por una matriz.

   • Propiedades.
     • Es distributiva respecto a la suma de matrices.
       • Ejemplo:  X·(A+B) = X·A + X·B
     • Es distributiva respecto a la suma de número.
       • Ejemplo: (x+y)·A = (x·y)·A
     • Es asociativa.
       • Ejemplo: x·(y·A) = (x·y)·A
     • Tiene un elemento unidad.
       • 1 ∈ R      1·A=A con cualquier matriz A. 

5. Propiedades de una matriz traspuesta.

   • Propiedades.
     • (A · B) = B^t · A^t
     • (A + B^t= A^t + B^t
     • (X · A)^t = X · A^t

6. Producto de matrices.

7. Potencia de una matriz.

   • Ejemplo: A^2= A·A

8. Matriz inversa.

   • A · A^(-1) = A^(-1) · A = I A^(-1) = Inversa de A. 
   • Propiedades.
     • (A^-1)^-1 = A
     • (A · B)^-1 = B^-1 · A^-1
     • (A^t)^-1 = (A^-1)^t

9. Cálculo de la matriz inversa.

   • Método directo.
   • Método de Gauss- Jordan.

10. Combinaciones lineales (CL)

    • Definición.
      • Una combinación lineal es el resultado de multiplicar cada fila o cada columna por un número y después sumarlas. 
    • Linealmente dependientes (LD).
      • Varias filas o columnas son linealmente dependientes (LD) cuando alguna de ellas se puede poner como combinación lineal (CL) de las otras. 
    • Linealmente independientes (LI).
      • Varias filas o columnas son linealmente independientes (LI) cuando ninguna de ellas se puede poner como combinación lineal (CL) de las otras. 

11. Rango de una matriz.

    • Teorema del Rango.
      • En una matriz, el número de filas linealmente independientes siempre coincide con el número de columnas linealmente independientes.  El rango de una matriz es el máximo número de filas o de columnas linealmente independientes.  Este máximo número es llamado rango de A, que se expresa como Rg(A). 

12. Rangos por Método de Gauss.

    • Definición.
      • Este método consiste en convertir el rango de una matriz en una matriz escalonada (triangular) equivalente mediante el método de Gauss. 
    • Observación teórica.
      • Una matriz es regular si su rango es máximo. En otro caso, es singular. 
      • Matriz regular.
        • Una matriz es regular si tiene matriz inversa. 
      • Matriz singular.
        • Una matriz es singular si no tiene matriz inversa.