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ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS_2
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ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS_2
OPERACIONES BINARIAS Y SUS PROPIEDADES
ESTRUCTURA DE GRUPO
Es la estructura que poseen los sistemas formados por un conjunto y una operación binaria cuando dicha operación es asociativa.
Contiene un elemento idéntico y todo elemento del conjunto tiene inverso para la operación.
Grupo
Sea G un conjunto no vacío y sea * una operación binaria definida en G. El sistema (G, *) tiene estructura de grupo si:
i) Para todo a, b, c pertenece G a*(b*c) = (a*b)*c
ii) Para todo e que pertenece a G tal que e*a = a, para todo a que pertenece a G
iii) Para todo a que pertenece a G, si existe â que pertenece a G tal que â*a =
Ejemplos de Grupos
El conjunto de los números enteros y la operación de adición constituyen un sistema con estructura de grupo ya que:
i) Para todo a, b, c que pertenece a Z : a + (b + c) = (a + b) + c
ii) 0 pertenece a Z y es tal que 0 + a = a, para todo a que pertenece a Z
iii) Para todo a que pertenece a Z, si existe -a que pertenece a Z tal que -a + a = 0
Por lo que (Z, +) es un grupo.
Otros sistemas conocidos que tienen estructura de grupo son:
- Los números racionales con la adición.
- Los números complejos con la adición.
- Los números complejos diferentes de cero con la multiplicación.
- Los polinomios con la adición.
- Las matrices m x n con la adición.
- Las matrices no singulares de orden n con la multiplicación.
ESTRUCTURAS DE ANILLO Y DE CAMPO
Sea A un conjunto vacio
Y sean + y *
2 operaciones binarias
Tienen estructura de anillo sí
i) V a, b, c E A
a*(b*c) = (a*b)*ca+(b+c) = (a+b)+c
iii) E inv. 0 E A tal que
0+a = a, V a E A
ii) V a, b E A
a+b = b+a
iv) V a E A E inv. -a E A
tal que -a+a = 0
v) V a, b, c E A
a*(b*c) = (a*b)*c
vi) V a, b, c E A
a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
(b+c)*a = (b*a)+(c*a)
Conmutativo
Si V a, b E A
a*b = b*a
De Unidad
Si E inv. 1 E A tal que
1*a = a = a*1
V a E A
Dominios Enteros
Sea (A, +,*) un anillo conmutativo
con unidad de por lo menos 2 elementos
donde 0 dif. 1; sí
a*b = 0 --> a= 0 ó b = 0
se dice que
(A, +,*)
se cumple
Campos
Es un dominio entero
Sea K un conjunto de por lo menos 2 elementos
y sean + y *
2 operaciones binarias definidas en K
El sistema (K, + ,*) es un campo sí
i) K es un grupo abeliano
su elemento identico se denota como 0
ii) (K-{0},*) es un grupo abeliano
iii) * es distributiva por
la izquierda y derecha sobre +
ISOMORFISMOS Y HOMOMORFISMOS
DEFINICIONES
FUNCIONES
INYECTIVA
PARA CADA VALOR DE Y NO CORRESPONDE UN VALOR DE X
SUPRAYECTIVA
PARA CADA VALOR DE Y PUEDEN EXISTIR UNO O MAS VALORES DE X
BIYECTIVA
PARA CADA VALOR DE Y EXISTE UN VALOR DE X
ISOMORFISMOS
PROVIENE DE
ISO = MISMO MORFO= FORMA
EN FORMA SENCILLA ES
LA IDEA DE DOS SISTEMAS TAN PARECIDOS QUE PARECIERA QUE SON LOS MISMOS
EN UNA FUNCION BIYECTIVA
EJEMPLO
HOMOMORFISMOS
Es una función que preserva la estructura entre dos estructuras matemáticas relevantes.
UN ANILLO EN CONTRA DE UN CAMPO
Propiedades elementales de los grupos
Grupo
Sea el par (A ,* )
Todo elemento de A es invertible en A respecto *
Es decir Va’ ε A, Ǝa’ ε A / a*a’ = e
(A , *) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo
* es asociativa.
Es decir Va, Vb, Vc, ε A: → (a*b)*c = a*(b*c)
* posee elemento neutro en A.
Es decir Ǝe ε A / Va , si a ε A → A*e = e*a = a
Donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria *
Subgupo
Un subconjunto no vacío B, del conjunto A es un subgrupo de ( A , ) si y solo sí ( B , ) es un grupo.
Por ejemplo
( Z , + ) es un subgrupo de ( Q , + ).
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