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Mind Map by Cristian Dominguez, updated more than 1 year ago
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ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS_2
- OPERACIONES BINARIAS Y SUS PROPIEDADES
- ESTRUCTURA DE GRUPO
- Es la estructura que poseen los sistemas formados por un conjunto y una operación binaria cuando dicha
operación es asociativa.
- Contiene un elemento idéntico y todo elemento del conjunto tiene inverso para la operación.
- Grupo
- Sea G un conjunto no vacío y sea * una operación binaria definida en G. El sistema (G, *) tiene estructura de
grupo si:
- i) Para todo a, b, c pertenece G a*(b*c) = (a*b)*c
- ii) Para todo e que pertenece a G tal que e*a = a, para todo a que pertenece a G
- iii) Para todo a que pertenece a G, si existe â que pertenece a G tal que â*a =
- Ejemplos de Grupos
- El conjunto de los números enteros y la operación de adición constituyen un sistema con estructura de
grupo ya que:
- i) Para todo a, b, c que pertenece a Z : a + (b + c) = (a + b) + c
- ii) 0 pertenece a Z y es tal que 0 + a = a, para todo a que pertenece a Z
- iii) Para todo a que pertenece a Z, si existe -a que pertenece a Z tal que -a + a = 0
- Por lo que (Z, +) es un grupo.
- i) Para todo a, b, c que pertenece a Z : a + (b + c) = (a + b) + c
- Otros sistemas conocidos que tienen estructura de grupo son:
- - Los números racionales con la adición.
- - Los números complejos con la adición.
- - Los números complejos diferentes de cero con la multiplicación.
- - Los polinomios con la adición.
- - Las matrices m x n con la adición.
- - Las matrices no singulares de orden n con la multiplicación.
- - Los números racionales con la adición.
- El conjunto de los números enteros y la operación de adición constituyen un sistema con estructura de
grupo ya que:
- i) Para todo a, b, c pertenece G a*(b*c) = (a*b)*c
- Sea G un conjunto no vacío y sea * una operación binaria definida en G. El sistema (G, *) tiene estructura de
grupo si:
- Contiene un elemento idéntico y todo elemento del conjunto tiene inverso para la operación.
- Es la estructura que poseen los sistemas formados por un conjunto y una operación binaria cuando dicha
operación es asociativa.
- ESTRUCTURAS DE ANILLO Y DE CAMPO
- Sea A un conjunto vacio
- Y sean + y *
- 2 operaciones binarias
- Tienen estructura de anillo sí
- i) V a, b, c E A
- a*(b*c) = (a*b)*ca+(b+c) = (a+b)+c
- a*(b*c) = (a*b)*ca+(b+c) = (a+b)+c
- iii) E inv. 0 E A tal que
- 0+a = a, V a E A
- 0+a = a, V a E A
- ii) V a, b E A
- a+b = b+a
- a+b = b+a
- iv) V a E A E inv. -a E A
- tal que -a+a = 0
- tal que -a+a = 0
- v) V a, b, c E A
- a*(b*c) = (a*b)*c
- a*(b*c) = (a*b)*c
- vi) V a, b, c E A
- a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
- (b+c)*a = (b*a)+(c*a)
- a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
- i) V a, b, c E A
- Tienen estructura de anillo sí
- 2 operaciones binarias
- Y sean + y *
- Conmutativo
- Si V a, b E A
- a*b = b*a
- a*b = b*a
- Si V a, b E A
- De Unidad
- Si E inv. 1 E A tal que
- 1*a = a = a*1
- V a E A
- V a E A
- 1*a = a = a*1
- Si E inv. 1 E A tal que
- Dominios Enteros
- Sea (A, +,*) un anillo conmutativo
- con unidad de por lo menos 2 elementos
- donde 0 dif. 1; sí
- a*b = 0 --> a= 0 ó b = 0
- se dice que
- (A, +,*)
- se cumple
- se cumple
- (A, +,*)
- se dice que
- a*b = 0 --> a= 0 ó b = 0
- donde 0 dif. 1; sí
- con unidad de por lo menos 2 elementos
- Sea (A, +,*) un anillo conmutativo
- Campos
- Es un dominio entero
- Sea K un conjunto de por lo menos 2 elementos
- y sean + y *
- 2 operaciones binarias definidas en K
- El sistema (K, + ,*) es un campo sí
- i) K es un grupo abeliano
- su elemento identico se denota como 0
- su elemento identico se denota como 0
- ii) (K-{0},*) es un grupo abeliano
- iii) * es distributiva por
- la izquierda y derecha sobre +
- la izquierda y derecha sobre +
- i) K es un grupo abeliano
- El sistema (K, + ,*) es un campo sí
- 2 operaciones binarias definidas en K
- y sean + y *
- Es un dominio entero
- Sea A un conjunto vacio
- ISOMORFISMOS Y HOMOMORFISMOS
- DEFINICIONES
- FUNCIONES
- INYECTIVA
- PARA CADA VALOR DE Y NO
CORRESPONDE UN VALOR DE X
- PARA CADA VALOR DE Y NO
CORRESPONDE UN VALOR DE X
- SUPRAYECTIVA
- PARA CADA VALOR DE Y PUEDEN
EXISTIR UNO O MAS VALORES DE X
- PARA CADA VALOR DE Y PUEDEN
EXISTIR UNO O MAS VALORES DE X
- BIYECTIVA
- PARA CADA VALOR DE Y
EXISTE UN VALOR DE X
- PARA CADA VALOR DE Y
EXISTE UN VALOR DE X
- INYECTIVA
- FUNCIONES
- ISOMORFISMOS
- PROVIENE DE
- ISO = MISMO
MORFO= FORMA
- ISO = MISMO
MORFO= FORMA
- EN FORMA SENCILLA ES
- LA IDEA DE DOS
SISTEMAS TAN
PARECIDOS QUE
PARECIERA QUE SON
LOS MISMOS
- EN UNA FUNCION BIYECTIVA
- EJEMPLO
- EN UNA FUNCION BIYECTIVA
- LA IDEA DE DOS
SISTEMAS TAN
PARECIDOS QUE
PARECIERA QUE SON
LOS MISMOS
- PROVIENE DE
- HOMOMORFISMOS
- Es una función que preserva la
estructura entre dos estructuras
matemáticas relevantes.
- UN ANILLO EN CONTRA DE UN CAMPO
- UN ANILLO EN CONTRA DE UN CAMPO
- Es una función que preserva la
estructura entre dos estructuras
matemáticas relevantes.
- DEFINICIONES
- Propiedades elementales de los grupos
- Grupo
- Sea el par (A ,* )
- Todo elemento de A es invertible en A respecto *
- Es decir Va’ ε A, Ǝa’ ε A / a*a’ = e
- Es decir Va’ ε A, Ǝa’ ε A / a*a’ = e
- (A , *) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo
- * es asociativa.
- Es decir Va, Vb, Vc, ε A: → (a*b)*c = a*(b*c)
- Es decir Va, Vb, Vc, ε A: → (a*b)*c = a*(b*c)
- * posee elemento neutro en A.
- Es decir Ǝe ε A / Va , si a ε A → A*e = e*a = a
- Es decir Ǝe ε A / Va , si a ε A → A*e = e*a = a
- * es asociativa.
- Donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria *
- Todo elemento de A es invertible en A respecto *
- Sea el par (A ,* )
- Subgupo
- Un subconjunto no vacío B, del conjunto A es un subgrupo de ( A , ) si y solo sí ( B , ) es un grupo.
- Por ejemplo
- ( Z , + ) es un subgrupo de ( Q , + ).
- ( Z , + ) es un subgrupo de ( Q , + ).
- Por ejemplo
- Un subconjunto no vacío B, del conjunto A es un subgrupo de ( A , ) si y solo sí ( B , ) es un grupo.
- Grupo
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