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ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS_2
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algebra Mind Map on ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS_2, created by Daniel PM on 14/11/2013.
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ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS_2
OPERACIONES BINARIAS Y SUS PROPIEDADES
ESTRUCTURA DE GRUPO
ESTRUCTURAS DE ANILLO Y DE CAMPO
Sea A un conjunto vacio
Y sean + y *
2 operaciones binarias
Tienen estructura de anillo sí
i) V a, b, c E A
a*(b*c) = (a*b)*ca+(b+c) = (a+b)+c
iii) E inv. 0 E A tal que
0+a = a, V a E A
ii) V a, b E A
a+b = b+a
iv) V a E A E inv. -a E A
tal que -a+a = 0
v) V a, b, c E A
a*(b*c) = (a*b)*c
vi) V a, b, c E A
a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
(b+c)*a = (b*a)+(c*a)
Conmutativo
Si V a, b E A
a*b = b*a
De Unidad
Si E inv. 1 E A tal que
1*a = a = a*1
V a E A
Dominios Enteros
Sea (A, +,*) un anillo conmutativo
con unidad de por lo menos 2 elementos
donde 0 dif. 1; sí
a*b = 0 --> a= 0 ó b = 0
se dice que
(A, +,*)
se cumple
Campos
Es un dominio entero
Sea K un conjunto de por lo menos 2 elementos
y sean + y *
2 operaciones binarias definidas en K
El sistema (K, + ,*) es un campo sí
i) K es un grupo abeliano
su elemento identico se denota como 0
ii) (K-{0},*) es un grupo abeliano
iii) * es distributiva por
la izquierda y derecha sobre +
ISOMORFISMOS Y HOMOMORFISMOS
DEFINICIONES
FUNCIONES
INYECTIVA
PARA CADA VALOR DE Y NO CORRESPONDE UN VALOR DE X
SUPRAYECTIVA
PARA CADA VALOR DE Y PUEDEN EXISTIR UNO O MAS VALORES DE X
BIYECTIVA
PARA CADA VALOR DE Y EXISTE UN VALOR DE X
ISOMORFISMOS
PROVIENE DE
ISO = MISMO MORFO= FORMA
EN FORMA SENCILLA ES
LA IDEA DE DOS SISTEMAS TAN PARECIDOS QUE PARECIERA QUE SON LOS MISMOS
EN UNA FUNCION BIYECTIVA
EJEMPLO
HOMOMORFISMOS
Es una función que preserva la estructura entre dos estructuras matemáticas relevantes.
UN ANILLO EN CONTRA DE UN CAMPO
Propiedades elementales de los grupos
Grupo
Sea el par (A ,* )
Todo elemento de A es invertible en A respecto *
Es decir Va’ ε A, Ǝa’ ε A / a*a’ = e
(A , *) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo
* es asociativa.
Es decir Va, Vb, Vc, ε A: → (a*b)*c = a*(b*c)
* posee elemento neutro en A.
Es decir Ǝe ε A / Va , si a ε A → A*e = e*a = a
Donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria *
Subgupo
Un subconjunto no vacío B, del conjunto A es un subgrupo de ( A , ) si y solo sí ( B , ) es un grupo.
Por ejemplo
( Z , + ) es un subgrupo de ( Q , + ).
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