Es la estructura que poseen los sistemas formados por un conjunto y una operación binaria cuando dicha
operación es asociativa.
Contiene un elemento idéntico y todo elemento del conjunto tiene inverso para la operación.
Grupo
Sea G un conjunto no vacío y sea * una operación binaria definida en G. El sistema (G, *) tiene estructura de
grupo si:
i) Para todo a, b, c pertenece G a*(b*c) = (a*b)*c
ii) Para todo e que pertenece a G tal que e*a = a, para todo a que pertenece a G
iii) Para todo a que pertenece a G, si existe â que pertenece a G tal que â*a =
Ejemplos de Grupos
El conjunto de los números enteros y la operación de adición constituyen un sistema con estructura de
grupo ya que:
i) Para todo a, b, c que pertenece a Z : a + (b + c) = (a + b) + c
ii) 0 pertenece a Z y es tal que 0 + a = a, para todo a que pertenece a Z
iii) Para todo a que pertenece a Z, si existe -a que pertenece a Z tal que -a + a = 0
Por lo que (Z, +) es un grupo.
Otros sistemas conocidos que tienen estructura de grupo son:
- Los números racionales con la adición.
- Los números complejos con la adición.
- Los números complejos diferentes de cero con la multiplicación.
- Los polinomios con la adición.
- Las matrices m x n con la adición.
- Las matrices no singulares de orden n con la multiplicación.
ESTRUCTURAS DE ANILLO Y DE CAMPO
Sea A un conjunto vacio
Y sean + y *
2 operaciones binarias
Tienen estructura de anillo sí
i) V a, b, c E A
a*(b*c) = (a*b)*ca+(b+c) = (a+b)+c
iii) E inv. 0 E A tal que
0+a = a, V a E A
ii) V a, b E A
a+b = b+a
iv) V a E A E inv. -a E A
tal que -a+a = 0
v) V a, b, c E A
a*(b*c) = (a*b)*c
vi) V a, b, c E A
a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
(b+c)*a = (b*a)+(c*a)
Conmutativo
Si V a, b E A
a*b = b*a
De Unidad
Si E inv. 1 E A tal que
1*a = a = a*1
V a E A
Dominios Enteros
Sea (A, +,*) un anillo conmutativo
con unidad de por lo menos 2 elementos
donde 0 dif. 1; sí
a*b = 0 --> a= 0 ó b = 0
se dice que
(A, +,*)
se cumple
Campos
Es un dominio entero
Sea K un conjunto de por lo menos 2 elementos
y sean + y *
2 operaciones binarias definidas en K
El sistema (K, + ,*) es un campo sí
i) K es un grupo abeliano
su elemento identico se denota como 0
ii) (K-{0},*) es un grupo abeliano
iii) * es distributiva por
la izquierda y derecha sobre +
ISOMORFISMOS Y HOMOMORFISMOS
DEFINICIONES
FUNCIONES
INYECTIVA
PARA CADA VALOR DE Y NO
CORRESPONDE UN VALOR DE X
SUPRAYECTIVA
PARA CADA VALOR DE Y PUEDEN
EXISTIR UNO O MAS VALORES DE X
BIYECTIVA
PARA CADA VALOR DE Y
EXISTE UN VALOR DE X
ISOMORFISMOS
PROVIENE DE
ISO = MISMO
MORFO= FORMA
EN FORMA SENCILLA ES
LA IDEA DE DOS
SISTEMAS TAN
PARECIDOS QUE
PARECIERA QUE SON
LOS MISMOS
EN UNA FUNCION BIYECTIVA
EJEMPLO
HOMOMORFISMOS
Es una función que preserva la
estructura entre dos estructuras
matemáticas relevantes.
UN ANILLO EN CONTRA DE UN CAMPO
Propiedades elementales de los grupos
Grupo
Sea el par (A ,* )
Todo elemento de A es invertible en A respecto *
Es decir Va’ ε A, Ǝa’ ε A / a*a’ = e
(A , *) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo
* es asociativa.
Es decir Va, Vb, Vc, ε A: → (a*b)*c = a*(b*c)
* posee elemento neutro en A.
Es decir Ǝe ε A / Va , si a ε A → A*e = e*a = a
Donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria *
Subgupo
Un subconjunto no vacío B, del conjunto A es un subgrupo de ( A , ) si y solo sí ( B , ) es un grupo.
Por ejemplo
( Z , + ) es un subgrupo de ( Q , + ).
OPERACIONES BINARIAS Y SUSPROPIEDADES.
Operación binaria
Una operación binaria definida en un conjunto S es una función de SxS en S. La imagen del par ordenado (a,b)
bajo la operación * se representa con a*b
Cerradura
sea * una operación binaria definida en un conjunto S, y sea T un subconjunto de S. se dice que T es cerrado
respecto a la operación * si ∀ a,b ∈ T∶a*b∈T
∃ Elemento idéntico
sea * una operación binaria definida en un conjunto S:
Un elemento e ∈S es un idéntico izquierdo para * si e*a=a,∀ a∈S
Un elemento e ∈S es un idéntico derecho para * si a*e=a,∀ a∈S
Un elemento e ∈S es idéntico para * si es idéntico izquierdo e idéntico derecho.
∃ Elemento inverso
sea * una operación binaria definida en un conjunto S, y:
Sea e un elemento idéntico izquierdo para *. Un elemento ¯a ∈S es un inverso izquierdo si del elemento ¯(a
)∈S si ¯a*a=e
Sea e un elemento idéntico derecho para *. Un elemento ¯a ∈S es un inverso derecho si del elemento ¯(a )∈S si
a*¯a=e
Sea e un elemento idéntico para *. Un elemento ¯a ∈S es un inverso del elemento a∈S si ¯a*a=e y
a*¯a=e
Asociatividad
sea * una operación binaria definida en un conjunto S se dice que * es
asociativa si
∀ a,b,c ∈S:a(b*c)=(a*b)*c
sea * una operación binaria definida en un conjunto S. se dice que * es conmutativa si