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Description
Mind Map by Angelica Maria Martinez Moreno, updated more than 1 year ago
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Created by Angelica Maria Martinez Moreno
over 8 years ago
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Espacios vectoriales
- Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no
vacío, una operación interna (llamada suma definida para los
elementos del conjunto) y una operación externa (llamado
producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un
cuerpo matemático)
- Sea V un conjunto no vacío. Supongamos que en V hay definida
una operación suma, que denotaremos por +, y una operación
producto por un escalar, que denotaremos por ·. Diremos que
(V,+,·) es un espacio vectorial real (o simplemente un espacio
vectorial) si se verifican las siguientes propiedades:
- 1.
Propiedad asociativa(+):(u+v)+w=u+(v+w),∀u,v,w∈V.
2.
Propiedad conmutativa:u+v=v+u,∀u,v,∈V.
3.
Existencia de elemento neutro:∃0∈V|0+v=v,∀v∈V.
4.
Existencia de elemento opuesto:∀v∈V
∃-v∈V|v+(-v)=0.
5.
Propiedad distributivaI:a·(u+v)=a·u+a·v,∀a∈R,∀u,v∈V.
6.
Propiedad distributivaII:(a+b)·v=a·v+b·v,∀a,b∈R,∀v∈V.
7.
Propiedad asociativa(·):a·(b·v)=(ab)·v,∀a,b∈R,∀v∈V.
8.
Elemento unidad:1·v=v,∀v∈V.
- 1.
Propiedad asociativa(+):(u+v)+w=u+(v+w),∀u,v,w∈V.
2.
Propiedad conmutativa:u+v=v+u,∀u,v,∈V.
3.
Existencia de elemento neutro:∃0∈V|0+v=v,∀v∈V.
4.
Existencia de elemento opuesto:∀v∈V
∃-v∈V|v+(-v)=0.
5.
Propiedad distributivaI:a·(u+v)=a·u+a·v,∀a∈R,∀u,v∈V.
6.
Propiedad distributivaII:(a+b)·v=a·v+b·v,∀a,b∈R,∀v∈V.
7.
Propiedad asociativa(·):a·(b·v)=(ab)·v,∀a,b∈R,∀v∈V.
8.
Elemento unidad:1·v=v,∀v∈V.
- De forma abreviada, diremos que V
es un espacio vectorial. A los
elementos de V lo llamamos
vectores y a los de R, escalares.
- Proposición 1.1 En un espacio vectorial V , 1. El elemento neutro es u ́nico. Se denotara ́
por 0. 2. El elemento opuesto de un vector es u ́nico. Si v es un vector, su opuesto lo
denotamos por −v.
- Proposición
1.2 En un espacio vectorial se tiene las siguientes
propiedades:
1.
λ0=0,λ∈R.
2.
0v=0,v∈V.
3.
(−λ)v=−(λv),λ∈R,v∈V.
4.
Siλv=0,entoncesλ=0ov=0.
- Proposición
1.2 En un espacio vectorial se tiene las siguientes
propiedades:
1.
λ0=0,λ∈R.
2.
0v=0,v∈V.
3.
(−λ)v=−(λv),λ∈R,v∈V.
4.
Siλv=0,entoncesλ=0ov=0.
- EJEMPLO
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