Lineare Abbildung

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Mathematik für Informatiker I (Matritzen, LGS und Lineare Abbildungen) Mind Map on Lineare Abbildung, created by Maximilian Gillmann on 23/03/2014.
Maximilian Gillmann
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Lineare Abbildung
  1. Eigenschaften
    1. Verknüpfung
      1. Addition
        1. Skalarmultiplikation
        2. Rang
          1. Seien M und N quadratische Matritzen und A m x n
            1. rang(A) = rang(M * A * N)
            2. rangF = dim_K F(V)
              1. rang(A) = rang(A,b)
              2. Nullvektor aus V bildet stehts auf Nullvektor in W ab
                1. Bilder l.a. Vektoren in V sind ebenfalls l.a. in W
                  1. Urbilder l.u. Vektoren in V sind ebenfalls l.u. in W
                  2. Darstellungsmatrix M
                    1. Berechnung
                      1. Einsetzen von e1,..,en
                        1. Zusammenfassen zu einer Matrix
                        2. rangF = rangM_F
                          1. A Element Mat_K(n,n) ist invertierbar wenn rangA = n
                            1. Spalten bestehen aus F(e_i) wobei e_i Standardbasisvektoren
                            2. Lineare Abbildung durch Basisvektoren
                              1. Für Basis von V mit m Vektoren existiert genau eine Abb auf einen beliebigen Vektor aus W
                              2. Morphismen
                                1. Homomorphismus
                                  1. alternativer Begr. für K-lin. Abb
                                  2. Endomorphismus
                                    1. V ist End_K(V)
                                      1. F: V->V
                                      2. Isomorphismus
                                        1. bijektiver Homomorphismus
                                          1. F: V->W
                                            1. V und W sind isomorph
                                            2. Automorphismus
                                              1. bijektiver Endomorphismus
                                            3. Kern und Bild
                                              1. Kern-Bild Satz
                                                1. Kern
                                                  1. Injektivitätskriterium
                                                    1. Injektiv, wenn Kern trivial
                                                    2. Menge aller Vektoren für die gilt F(v) = 0w ist Teilmenge von V
                                                    3. Bild
                                                      1. Menge aller Vektoren für die gilt F(v) = w ist echte Teilmenge von W

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