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Ecuaciones Diferenciales
- definicion
- todo tipo de
ecuaciones que
cuyo componente
contenga derivadas
- todo tipo de
ecuaciones que
cuyo componente
contenga derivadas
- Orden
- derivada de mayor grado
que se encuentra en la
ecuación
- derivada de mayor grado
que se encuentra en la
ecuación
- grado
- mayor grado al que
se eleva algún
elemento
- mayor grado al que
se eleva algún
elemento
- linealidad
- lineal
- la variable independiente
tiene que ser de 1er
grado
- tienen que seer
unicamentes
dependientes,
unicamente a la la
variable
depentdiento
- la variable independiente
tiene que ser de 1er
grado
- no lineales
- las variables
independientes so de 2do
o mas grado
- las variables
independientes so de 2do
o mas grado
- lineal
- ecuacuión ordinaria
- derivadas de 1 o mas variables
de uno o mas con respecto a una
variable independiente
- derivadas de 1 o mas variables
de uno o mas con respecto a una
variable independiente
- ecuaciones parciales
- cuando se tienen derivadas de
una o mas variables
dependientes a 2 o mas variables
independientes
- cuando se tienen derivadas de
una o mas variables
dependientes a 2 o mas variables
independientes
- separación de variables
- separar las variables en 2 miembros
- dx / x solo
depende de "x"
- dy / y solo
depende de "y"
- ejemplo:
- dy/dx = y / x
- dy / y = dx / x
- se integra con respecto a
cada termino
- resulta : ln (y) = ln (x) + c
- sin condición
- sin condición
- resulta : ln (y) = ln (x) + c
- se integra con respecto a
cada termino
- dy / y = dx / x
- dy/dx = y / x
- dx / x solo
depende de "x"
- separar las variables en 2 miembros
- Ecuaciones diferenciales exactas
- son aquellas que resultan al determinar
la derivada completa
- de la ecuación F(x,y) = C
- DF(x,y) = d/dx F(x,y)*dx
+ d/dy F(x,y)*dy =0
- M(x,y)*dx + N(x,y)*dy = 0
- dado que las derivadas parciales
mixtas son iguales, es decir:
- ( d^2F / dy dx ) = ( d^2F / dx dy ) => (d/dy) M(x,y) = (d/dx) N(x,y)
- esta es la condición para las exactas
- esta es la condición para las exactas
- ( d^2F / dy dx ) = ( d^2F / dx dy ) => (d/dy) M(x,y) = (d/dx) N(x,y)
- dado que las derivadas parciales
mixtas son iguales, es decir:
- M(x,y)*dx + N(x,y)*dy = 0
- DF(x,y) = d/dx F(x,y)*dx
+ d/dy F(x,y)*dy =0
- de la ecuación F(x,y) = C
- son aquellas que resultan al determinar
la derivada completa
- factor Integrante
- algunas ecuaciones no cumplen
con la condición:
- (d/dy) M(x,y) = (d/dx) N(x,y)
- para estos casos se tiene que
buscar un factor integrante
- que convierte la ecuacion dif. en
exacta: de dos formas
- 1.- si el cociente ((d/dy) M(x,y) - (d/dx)
N(x,y))/ N(x,y) = f(x)
- resulta ser una expresión que dependa solo
de "x" , entonces el factor es:
- e^integral(f(x)dx)
- e^integral(f(x)dx)
- resulta ser una expresión que dependa solo
de "x" , entonces el factor es:
- 2.- si el cociente ((d/dx) N(x,y) - (d/dy)
M(x,y))/ M(x,y) = g(y)
- resulta ser una expresión que
dependa solo de "y" , entonces el
factor es:
- e^integral(g(y)dy)
- e^integral(g(y)dy)
- resulta ser una expresión que
dependa solo de "y" , entonces el
factor es:
- 1.- si el cociente ((d/dy) M(x,y) - (d/dx)
N(x,y))/ N(x,y) = f(x)
- que convierte la ecuacion dif. en
exacta: de dos formas
- para estos casos se tiene que
buscar un factor integrante
- (d/dy) M(x,y) = (d/dx) N(x,y)
- algunas ecuaciones no cumplen
con la condición:
- ecuaciones diferenciales lineales
- (dy/dx) + P(x)y = Q(x)
- de primer grado ( y,y' )
- si en la ecuación Q(x)= 0
- lineal Homogénea:
(dy/dx) + P(x)y = 0
- Solucion:
- y(x) = Ce^ - integral(P(x)dx) + e^ - integral(P(x)dx) *
integral(Q(x)*e^integral(P(x)dx) dx
- si Q(x) = 0 entonces y(x) = Ce ^ - integral(P(x)dx)
- si Q(x) = 0 entonces y(x) = Ce ^ - integral(P(x)dx)
- y(x) = Ce^ - integral(P(x)dx) + e^ - integral(P(x)dx) *
integral(Q(x)*e^integral(P(x)dx) dx
- Solucion:
- lineal Homogénea:
(dy/dx) + P(x)y = 0
- si en la ecuación Q(x)= 0
- de primer grado ( y,y' )
- (dy/dx) + P(x)y = Q(x)
- Ecuaciones de berniulli
- ecuación de primer orden
- (dy/dx) + P(x)y = Q(x)y^n
- donde P(x) y Q(x) son
continuas en el intervalo
(a,b)y n
- resolver con cambio de variable: V=y^1-n
- esto hace que se transforme
a ecuación lineal
- se deriva v= y^1-n , se tiene
(dv/dx)= (1-n)y^-n(dy/dx)
- (dy/dx) + P(x)y=Q(x)y^n , se divide entre y^n ,
y se ,multiplica por (1-n)
- (1-n)y^-n (dy/dx) + (1-n) P(x)y^1-n = (1-n)Q(x)
- al sustituir v=y^1-n ,
(dv/sx)= (1-n)y^-n (dy/dx)
- (dv/sx)+(1-n)P(x)v=(1-n)Q(x)
- resulta una ecuación lineal
- resulta una ecuación lineal
- (dv/sx)+(1-n)P(x)v=(1-n)Q(x)
- al sustituir v=y^1-n ,
(dv/sx)= (1-n)y^-n (dy/dx)
- (1-n)y^-n (dy/dx) + (1-n) P(x)y^1-n = (1-n)Q(x)
- (dy/dx) + P(x)y=Q(x)y^n , se divide entre y^n ,
y se ,multiplica por (1-n)
- esto hace que se transforme
a ecuación lineal
- donde P(x) y Q(x) son
continuas en el intervalo
(a,b)y n
- (dy/dx) + P(x)y = Q(x)y^n
- ecuación de primer orden
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