Statistik

In Zuge der Operationalisierung können mitunter Teildimensionen zu einem Index zusammengefasst werden. Dies ist nach Kromrey jedoch nur dann zulässig, wenn diese Teildimensionen positiv miteinander korrelieren.

Durch Indexbildung kann es nach Kromrey zur Kumulation von Mess-Ungenauigkeiten kommen.

Das „Prinzip der Vollständigkeit“ bei der Datensammlung besagt, dass jeder Untersuchungseinheit genau eine Variablenausprägung zugewiesen wird.

Wenn Messwerte eine hohe intertemporale, intersubjektive und interinstrumentelle Stabilität aufweisen, so erfüllen sie das Gütekriterium „Zuverlässigkeit“.

Damit eine Theorie als „empirisch interpretiert“ bezeichnet werden kann, muss sie u.a. theorie-implizierte Beobachtungsaussagen enthalten.

Die Daten aus Frage 2 des oben gezeigten Fragebogens sind nominalskalierte, diskrete und qualitative Merkmalsausprägungen.

Die Daten auf den zurückgesandten ausgefüllten Fragebögen stellen die Rohdaten in dieser Untersuchung dar.

Die Daten aus Frage 1 des Fragebogens haben metrisches Skalenniveau.

Wenn nicht alle Angeschriebenen den Fragebogen zurückschicken, liegt „Undercoverage“ vor.

Die Daten aus Frage 4 sind nominalskaliert.

Der Median x0:5 ist größer als das arithmetische Mittel.

Die Standardabweichung ist kleiner als 10:5.

Bei ordinal skalierten Daten ist die Bestimmung des arithmetischen Mittels nicht sinnvoll.

Das 0:6-Quantil x0:6 lautet 32.

Der obige Datensatz wird korrekt in folgendem Boxplot dargestellt:

Die Kovarianz zweier Merkmale X und Y nimmt denWert sx * sy an, wenn alle Punkte (xi; yi) im Streudiagramm genau auf einer Geraden mit positiver Steigung liegen.

Der Rangkorrelationskoeffizient rSp lässt sich auch auf metrische Merkmale X und Y anwenden. Er ist stets kleiner als der Korrelationskoeffizient r von X und Y .

Wenn zwei metrische Merkmale X und Y unkorreliert sind, so kann es keinen Zusammenhang zwischen ihnen geben.

Wenn der Korrelationskoeffizient zweier Merkmale betragsmäßig kleiner als 0,5 ist, spricht man üblicherweise von einer schwachen Korrelation; ist er größer, von einer mäßigen bis starken Korrelation. Bei den Merkmalen X und Y , die für n = 6 Probanden erhoben wurden, wurden folgende Werte errechnet: Hier liegt also eine schwache Korrelation vor.

Bei einer Untersuchung mit n = 300 Studierenden der Universität wird der Frage nachgegangen, inwieweit es einen Zusammenhang zwischen der Fakultät X (mit den Ausprägungen „ksw“, „mathinf“, „wiwi“, „rewi“) und der Präferenz für einen Fußballverein Y gibt. Die Studierenden konnten dabei angeben, ob sie Anhänger von Bayern München (y1), des HSV (y2), Schalke (y3), Dortmund (y4), des FC St. Pauli (y5), eines anderen Vereins (y6) sind oder auch gar keinen Fußballverein unterstützen (y7). Aus diesen Daten wurde ein Kontingenzkoeffizient von X² = 173:,6 errechnet. Jemand anderes interessiert sich nur dafür, ob die Fakultät Einfluss darauf hat, ob die Studierenden überhaupt Fußballfans sind oder nicht und fasst die ersten sechs Spalten zu einer einzigen zusammen. Der Kontingenzkoeffizient für die so modifizierte Kontingenztafel beträgt nun X² = 61,4. Cramér’s V ist im letzten Fall kleiner als Cramér’s V der ursprünglichen Kontingenztafel.

Genau 9 der ängstlich-vermeidenden Personen grübeln hier nicht.

Mehr als 68% der „Grübler“ sind ängstlich-vermeidend.

Von den „Nicht-Grüblern“ sind mehr als 86% entweder histrionisch oder schizoid.

Unter den „Nicht-Grüblern“ befinden sich 44 Personen mit histrionischer Persönlichkeitsstörung.

DieWahrscheinlichkeit, bei zufälligerAuswahl eines Probanden einen grübelnden Schizoiden zu wählen, liegt unter 5%.

Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X gilt f(1) = 0:32

Der Erwartungswert des Abstands X ist gleich 1:25

Der Abstand X ist binomialverteilt.

Die Randverteilungen der Kontingenztafel stimmen überein.

Wenn die Ehepartner ihre Antworten tatsächlich rein zufällig und unabhängig voneinander gewählt hätten, so würden alle Zellen der Kontingenztafel genau den Wert 5 haben, also alle Antwortkombinationen mit der gleichen Häufigkeit auftreten.

In der Schublade von Frau H. aus M. liegen lose 12 Socken herum, davon sind 4 grau und 8 schwarz. Morgens greift sie verschlafen im Dunkeln in die Schublade und nimmt zufällig zwei Socken heraus. DieWahrscheinlichkeit, dass sie dabei zwei gleichfarbige Socken entnimmt, lässt sich durch folgenden Ausdruck berechnen: (Siehe Grafik)

XA und XB sind zwei unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen, die jeweils die gleiche Varianz o2 (und den gleichen Erwartungswert µ) haben. Dann ist die Varianz des Durchschnitts von XA und XB, d.h. von 12 (XA+XB), auf jeden Fall kleiner als o2.

Die Stichprobenvariablen X1; :::;X18 sind unabhängig voneinander und haben alle die (unbekannte) Varianz o2. Sie weisen einen Stichprobenmittelwert von 38:6 und eine Stichprobenvarianz von 75:65 auf. Erwartungstreue Schätzer der entsprechenden Populationsparameter lauten dann µ = 38,6 (Mittelwert) und o²= 80,1 (Varianz).

Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich jede Verteilung von Summen oder Mittelwerten von Zufallsvariablen mit steigender Stichprobengröße immer mehr der Normalverteilung oder, in ihrer standardisierten Form, der Standardnormalverteilung annähert.

Nur wenn man den tatsächlichen Populationsparameter, wie z. B. den Anteil depressiver Frauen in einer bestimmten Altersgruppe, kennt, lässt sich eine empirische Stichprobenverteilung ermitteln.

Wird ein Bernoulli-Experiment n Mal unabhängig durchgeführt, so entspricht der zu erwartende Anteilswert in der Stichprobe dem Anteilswert in der Population.

Will man die Wahrscheinlichkeit erhöhen, dass ein 95%-Konfidenzintervall den zu schätzenden Parameter trifftt, so erreicht man dies durch eine Erhöhung des Stichprobenumfanges n.

Bestimmt man zehn 90%-Konfidenzintervalle, so enthält genau eines davon den gesuchten Parameter nicht.

Eine Personalleiterin überlegt, ob sie auf den Vorschlag einer Mitarbeiterin eingehen soll, zwanzigminütige „Power Naps“ zur Leistungssteigerung zuzulassen. Bislang werden in der betroffenen Abteilung im Schnitt täglich 30 Akten bearbeitet. In einer Erprobungsphase von zweiWochen (d.h. zehn Arbeitstage) bearbeitet die Abteilung nun täglich durchschnittlich 31:8 Akten, bei einer Stichprobenstandardabweichung von s = 3,75. Gehen Sie davon aus, dass die Anzahl der täglich bearbeiteten Akten normalverteilt ist. Die Personalleiterin kann dann aufgrund dieser Daten zu 90% konfident sein, dass sich durch „Power Naps“ tatsächlich eine Leistungssteigerung einstellt (d.h.das 90%-K.I. liegt gänzlich oberhalb des bisherigen Durchschnittswertes von 30).

Die Power eines Tests gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der Test im Falle der Gültigkeit der H1 signifikant wird.

Wenn der p-Wert kleiner als das Signifikanzniveau a (alpha) ist, so darf man daraus korrekterweise schließen: Es ist sehr unwahrscheinlich, dass die H0 wahr ist.

Wenn man bei der Auswahl/ Konstruktion eines Tests festlegt, wie groß die Power mindestens sein soll, so legt man dadurch gleichzeitig fest, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (also b (beta)) maximal sein darf.

Üblicherweise ist in der Forschungspraxis der maximale Stichprobenumfang eingeschränkt durch Sachzwänge wie begrenzte Forschungsmittel oder relativ kleine Populationen (z. B. Leute mit einer bestimmten, seltenen Krankheit, über die geforscht werden soll). Es kann aber auch Testkonstellationen geben, bei denen eine Begrenzung des Stichprobenumfanges auchmathematisch/ theoretisch begründbar ist. Dies ist beispielsweise dann der Fall, wenn das Forschungsinteresse darin besteht, auch geringe Populationseffekte aufzudecken.

Eine neuartige Therapieform soll angeblich den Heilungsprozess bei einer bestimmten Krankheit deutlich verkürzen. Mit der konventionellen Therapie dauert dieser Heilungsprozess im Schnitt 10 Tage, mit der neuen Therapie angeblich höchstens siebenTage (H0 : µ = 10 vs. H1 : µ = 7). Sie sollen einen Test durchführen und müssen sich im Vorfeld überlegen, mit welcherWahrscheinlichkeit der Fehler 1. Art und der Fehler 2. Art jeweils höchstens in Kauf genommen werden kann. Gehen Sie davon aus, dass sowohl bei der alten als auch bei der neuen Therapie keine nennenswerten Nebenwirkungen auftreten.Wenn die Krankheit für die Betroffenen sehr unangenehm ist, ist das ein Argument dafür, den Fehler 1. Art im Verhältnis zum Fehler 2. Art relativ klein zu halten.

0.129

0.158

0.789

0.343

0.176

0.3534

0.8770

0.2342

0.3467

0.4533