Grundlagen (Mengenlehre und Logik)

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Nenne die 3 Beweisarten und wie sie beschrieben werden.	Direkter Beweis: a => b Indirekter Beweis: ¬b => ¬a Beweis durch Widerspruch: ¬b und a => Widerspruch
Nenne das Gegenteil des All Qunators.	Es existiert mindestens ein x für das die gegenteilige Aussage gilt.
Nenne das Gegenteil der Exist Quantors.	Für alle x gilt die gegenteilige Aussage.
Wie kann man ausdrücken das genau ein x existiert.	Image: png__40_ (image/png)
Wie wird ein geordnetes Paar noch bezeichnet?	Tupel
Was ist das Kartesische Produkt?	Verknüpfung zweier Mengen über jeweilige Tupel. {1}x{1,2} = {(1,1),(1,2)}
Was gibt die Kardinalität an und welchen Wert hat sie bei der Nullmenge?	Anzahl der Elemente #Nullmenge = 0
Was ist eine echte Teilmenge?	Teilmenge, aber #A ungleich #B
Wann ist A Teilmenge von B?	Wenn jedes Element von A in B liegt.
Wann ist A = B?	Wenn A Teilmenge von B und B Teilmenge von A ist.
Welche 3 Operationen gibt es auf Mengen? Wie könnte man diese logisch beschreiben?	Durchschnitt: A und B Vereinigung: A oder B Differenz: A ohne B
Was ist ein Komplement?	Image: png__41_ (image/png)
Was ist eine Abbildung?	Eine Vorschrift, die jedem Element in A genau ein Element in B zuordnet.
Was sind Definitions- und Wertemengen?	A -> B A ist Definitionsmenge B ist Wertemenge
Nenne alternative Begriffe für Definitionsmenge und Wertemenge.	Ausgangsmenge Zielmenge
Wann ist eine Abbildung wohldefiniert?	Jedes Element aus A wird einmal abgebildet.
Was ist die Identität?	Eine Abbildung bei dem jedes Element auf sich selbst abgebildet wird.
Was ist eine Umkehrabbildung?	Abbildung von A nach B die bijektiv ist, hat eine Umkehrabbildung von B nach A.
Was ist injektivität? Nenne zusätzlich ein Beispiel.	Jedem Wert aus A wird ein Wert aus B zugeordnet, B wird nicht vollständig abgedeckt.
Was ist Surjektivität?	Jedes Element in B hat ein Urbild in A, dabei können die Urbilder verschiedener Elemente in B gleich sein.
Was ist Bijektivität?	Jedes Element in A hat genau ein Element in B. Beispiel: Eine Linie, die jedem x ein y zuordnet.
Image: png__42_ (image/png)	Bild: 4,5 Urbild: 1 und 2, 6 hat kein Urbild
Nenne die vier Eigenschaften von Relationen. Wann sind diese erfüllt?	reflexiv: (a,a) in R symmetrisch: (a,b) in R => (b,a) in R antisymmetrisch: (a,b) und (b,a) in R <=> a = b transitiv: (a,b) und (b,c) in R => (a,c) in R
Was sind die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation?	Reflexiv Symmetrisch Transitiv
Was sind die Eigenschaften einer Ordnungsrelation?	Reflexiv Antisymmetrisch Transitiv
Welche Menge beschreibt die Äquivalenzklasse?	Menge aller Elemente aus A für die eine Äquivalenzrelation definiert ist.
Was ist eine Quotientenmenge?	Menge aller Äquivalenzklassen.
Nenne ein Beispiel um Äquivalenzrelation, -klasse und Quotientenmenge zu Verknüpfen. Stichwort: Schule	a~b := a in der selben Klasse wie b Jede Klasse ist Äquivalenzklasse Menge der Klassen ist Quotientenmenge
Wann ist eine Ordnungsrelation total, wann partiell?	total: je zwei Elemente sind miteinander vergleichbar partiell: nicht alle Elemente sind paarw. miteinander vergleichbar

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