Mathematische Methoden der Theoretischen Physik - Test 2

Sei L ein Differentialoperator. Welche Voraussetzungen an L müssen gelten, damit die zu L gehörige Greensche Funktion mittels Fouriertransformation berechnet werden kann.

Gegeben sei ein Sturm-Liouville Problem. Die Bedingung \(y(a) = y(b)=0\) nennt man [blank_start]Dirichlet[blank_end] Randbedingung. Die Bedingung \(y'(a)=y'(b)=0\) nennt man [blank_start]Neumann[blank_end] Randbedingung. Es gibt auch noch [blank_start]periodische[blank_end] Randbedingungen der Form \(y(a)=y(b)\) bzw. \(y'(a)=y'(b)\)

Welche der folgenden linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung können in die Sturm-Liouville Gestalt gebracht werden?

Gegeben sei die Differentialgleichung \(\frac d{dx}\left[p(x)\frac d{dx}\right]\phi(x)+[q(x)+\lambda\rho(x)]\phi(x)=0\) \(x\in(a,b)\). Es sei weiters \(p'(x)\) und \(q(x)\) stetig und \(p(x)\gt0, \rho(x)\gt0\forall x\in(a,b)\) Welche Aussagen treffen zu?

Wie erhält man aus einer Differentialgleichung die Sturm-Liouville'sche Normalform, sofern sie existiert.

Was darf nicht auftreten, damit ein Separationsansatz bei einer Differentialgleichung zum Erfolg führt?

Stimmt diese Gleichung? \(\Gamma(n)=(n+1)!\)

Was ist eine Verallgemeinerung der Fakultät?

Wie ist das Pochhammer-Symbol definiert? a) \((a)_n := (a+n)(a+n-1) \dots (a+2)(a+1)\) b) \((a)_n:= (a+n)(a+n-1) \cdots (a+1)a\) c) \((a)_n:= (a+n-1)(a+n-2) \cdots (a+2)(a+1)\) d) \((a)_n:= (a+n-1)(a+n-2) \cdots (a+1)a\)

Wie kann die Fakultät geschrieben werden? a) \(n!=\Gamma(n)\) b) \(n!=\Gamma(n+1)\) c) \(n!=\Gamma(n-1)\) d) \(n!=(1)_n \), (Pochhammer-Symbol) e) \(n!=(n)_n \), (Pochhammer-Symbol) f) \(n! = B(2,n)\), Beta-Funktion

Gegeben sei die Differentialgleichung \(y''(x)+a_1(x)y'(x)+a_2(x)y(x)=0\) Wann ist die DGL eine Fuchsche Differentialgleichung?

Gegeben sei eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung der Fuchs'schen Klasse. Wir führen einen verallgemeinerten Potenzreihenansatz (Frobenius-Methode) durch. Durch Bestimmung des charakteristischen Exponenten können wir erkennen, ob wir die allgemeine Lösung der Differentialgleichung leicht finden können. Wann ist dies nicht der fall?

Welche Normierung wählt man für die Legendre-Polynome?

Wie können die Legendre-Polynome erzeugt oder definiert werden?

Sei \(n\) gerade. Wie ist die Doppelfakultät \(n!!\) definiert?