Determinanten und Eigenwerte

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Mathematik für Informatiker I (Determinanten und Diagonalisierbarkeit) Flashcards on Determinanten und Eigenwerte, created by Maximilian Gillmann on 01/04/2014.
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Question Answer
Wann ist die Bildung einer Determinante möglich? Wenn die Matrix quadratisch ist.
Was verändert sich bei Determinanten durch Elementare Zeilenumformungen? Faktor an Spalte -> Faktor an Determinante Vertauschen zweier Spalten -> Vorzeichenwechsel Addieren des Lambda-Fachen -> Keine Änderung
det A * B = ? det A * B = det A * det B
Wie verhält sich die Determinante von A zu A transponiert? Identisch.
Wie verhält sich die Determinante von A zu A invertiert? det(A) = det(1/A)
Wann ist die Determinante 0? Wenn kein Vollrang.
Wie entsteht eine Unterdeterminante? Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte.
Wie lässt sich die Determinante bei einer Dreiecksmatrix errechnen? Produkt der Diagonaleinträge.
Wann gehört A zu einer linearen general linear group, wann zu einer special linear group? general: det(A) != 0 special: det(A) == 1
Welche Bedingungen müssen für die Cramersche Regel gelten? a_1, ..., a_n geben Spalten von A an A ist invertierbar b ist in K^n
Wie sieht die Cramersche Regel aus?
Was gilt für A multipliziert mit ihrer Adjunkten?
Wie lässt sich eine Determinante geometrisch interpretieren? Entspricht Flächeninhalt eines Parallelogramms - |det(v1,v2)| Standardbasis: Flächeninhalt 1 Linear abhängig: Flächeninh. 0
Welche Form hat das charakteristische Polynom?
Was ist die Besonderheit bei Ähnlichen Matrizen hinsichtlich des char. Polynoms? Ähnliche Matrizen besitzen das gleiche char. Polynom
Wie hängt das char. Polynom und Eigenwerte zusammen? Nullstellen sind Eigenwerte
Wie hängen eine Dreiecksmatrix und Eigenwerte zusammen? Diagonaleinträge sind Eigenwerte von A
Wie werden Eigenvektoren gebildet? Durch einsetzen der Eigenwerte in das LGS.
Wie hängt die lineare Abhängigkeit der EV mit den Eigenwerten zusammen? Jeder EV ist linear unabhängig, wenn Eigenwert paarweise verschieden.
Nenne alle fünf Kriterien für Diagonalisierbarkeit. Charakteristisches Polynom zerfällt in Linearfaktoren Darstellungsmatrix hat Diagonalgestalt A hat genau n paarw. verschiedene Eigenwerte Ähnlich zur Hauptachsentransformation Es existiert eine Basis aus EV von A
Wie sieht die Hauptachsentransformation aus?
Was gibt die geometrische Vielfachheit an?
Was gibt die algebraische Vielfachheit an? - Exponent gibt an, wie oft das char. Polynom auftaucht - Phi(t) ist keine Nullstelle
Wie genau sieht die algebraische Vielfachheit aus?
Was ist der Zusammenhang zwischen beiden Vielfachheiten?
Wie bildet sich der Eigenraum zu einem Eigenwert? Der Eigenraum zu einem Eigenvektor ist die Menge aller EV mit diesen EW.
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