Bilinearform

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Mathematik für Informatiker I (Bilinearformen, Skalarprodukte, Spektralsätze) Mind Map on Bilinearform, created by Maximilian Gillmann on 24/03/2014.
Maximilian Gillmann
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Bilinearform
  1. Standardskalarprodukt
    1. Summe der Kompnentenweise Multiplikation
      1. Nicht ausgeartet
        1. Symmetrisch
          1. Determinante ist alternierenden, wegen VZW bei Spaltentausch
          2. Grundlegendes
            1. Es muss gelten
              1. Selbiges auch für w
              2. Weist zwei Vektoren einen Skalarwert zu
                1. Positiv definit
                  1. Bei V ungleich Nullvektor ist immer B(v,v) > 0
                  2. Formel
                  3. Matrix S
                    1. Zusammensetzung
                      1. Bilinearform zwischen der i-ten Spalte und der j. Zeiler zweier Basen C und C'
                      2. S Tilde
                      3. orthogonal
                        1. Orthogonalbasis
                          1. Basis besteht aus zueinander orthogonalen Vektoren
                            1. Jede symmetrische Bilinearform ist eine Orthogonalbasis
                            2. B(v,w) = 0
                              1. Orthogonalkomplement
                                1. Alle Vektoren aus V die zu M orthogonal sind
                              2. nicht ausgeartet, wenn
                                1. positiv definit
                                  1. B(v,w) = 0 für alle v/w ungleich deren jeweiliger Nullvektor muss gelten w/v = 0
                                  2. symmetrisch
                                    1. B(v,w) = B(w,v)
                                    2. alternierend
                                      1. B(v,w) = -B(w,v)
                                      2. Satz von Sylvester
                                        1. hängt nur von Biliniearform ab
                                          1. Wenn B nicht ausgeartet und symmetrisch
                                            1. Es existiert eine Basis C sodass gilt
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